Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности , если для любого, сколь угодно малого положительного числа найдется такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство .

Из этого определения следует, что для всех номеров n>N (т.е. для n = N + 1, N + 2,…) верно неравенство .

Теперь можно сформулировать геометрически определение предела последовательности следующим образом: число a является пределом последовательности , если для любой –окрестности точки а, начиная с некоторого номера , все точки попадут в эту окрестность, т.е. вне интервала останется лишь конечное число членов последовательности (рис. 2).

Рис. 2

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Рассмотрим последовательность . Общий член можно переписать так: . Интуитивно понятно, что эта последовательность имеет предел, равный 1. Действительно, . Для того чтобы было меньше заданного положительного числа , необходимо только выполнение неравенства , которое следует из . Таким образом, по заданному всегда можно указать такое , здесь [ N ] означает ближайшее целое число, не превосходящее , например [1,98] = 1. Так, если = 0,06, тогда и для всех номеров n>N будет выполнено неравенство , т.е. число 1 есть предел последовательности . Этот факт можно записать так: .

Пример 2. Последовательность , или …, имеет предел, равный числу
a = 0. Докажем это. Действительно, . Из предыдущего примера следует, что для всех номеров , т.е. в качестве номера N, за которым следуют номера членов последовательности, принадлежащих –окрестности нуля , можно взять номер . Так, при = 0,03 имеем N = 34, а при = 0,006 номер N =167. Итак, как бы ни было мало число
> 0, существует такой номер N, зависящий от , что для всех n>N, т.е. .

Пример 3. Рассмотрим теперь последовательность с общим членом . Члены последовательности принимают значения, равные –1 либо +1, последовательность не имеет предела. Возникает естественный вопрос: как узнать – существует ли предел данной последовательности?

Чтобы ответить на этот вопрос, введем некоторые определения.

Последовательность называется:

- возрастающей, если ;

- неубывающей, если ;

- убывающей, если ;

- невозрастающей, если .

Все такие последовательности называются монотонными.

Теперь сформулируем критерий существования предела последовательности.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел (сходится).