Знакопеременные ряды, их сходимость

ОПР: Рассмотрим ряд а1 + а2+…+аn+… (1), члены которого могут принимать положительные и отрицательные значения, причем порядок следования положительных и отрицательных членов произвольный, такой ряд называется знакопеременным рядом.

Для знакопеременных рядов справедлива теорема: составим ряд из абсолютных величин исходного ряда | а1|+|а2|+…+|аn|+… (2).

ТЕОР: если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Док-во: пусть ряд (2) сходится. Обозначим через Sn частичную сумму ряда (1), а через sn частичную сумму ряда (2): Sn = а1 + а2+…+аn; sn= | а1|+|а2|+…+|аn|. Так как ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм {sn} имеет предел lim sn=s, при этом для любого n имеет место неравенство sn£s (3), поскольку члены ряда (2) неотрицательны. Обозначим через S′n сумму положительных членов, а через S″n сумму модулей отрицательных членов, содержащихся в сумме Sn. Тогда Sn=S′n – S″n (4), sn= S′n +S″n (5). Очевидно, что последовательности {S′n} и {S″n} не убывают, а из равенства (5) и неравенства (3) следует, что они являются ограниченными: S′n£sn£s и S″n£sn£s. Следовательно, существуют lim S′n= S′ и lim S″n = S″. Но в таком случае, в силу равенства (4), последовательность частичных сумм ряда (1) имеет предел

lim Sn=lim (S′n – S″n)=lim S′n – lim S″n =S′ – S″. Это означает, что ряд (1) сходится.

Все сходящиеся знакопеременные ряды делятся на: абсолютно и условно сходящиеся.

ОПР: если ряд (2) сходящийся, то ряд (1) абсолютно сходящийся.

ОПР: если ряд (2) расходящийся, то ряд (1) условно сходящийся.