Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница

ОПР: ряд вида а1 – а2+…+(-1) ¹аn+… (1), где все "аn >0 называется знакочередующимся рядом.

Общим членом ряда считается аn, а не (-1) ¹аn. Сходимость такого ряда проверяется по признаку Лейбница.

ТЕОР: если абсолютные величины ряда монотонно убывают (а1 >а2>…) и lim аn=0, то ряд сходится.

Док-во: пусть дан ряд (1) и пусть аn > аn+1 и аn®0 при n®¥. Рассмотрим частичную сумму ряда с четным числом членов

S2n= а1 – а2 + а3 – а4 +…+ а2n–1 – а2n = (а1 – а2)+(а3 – а4)+…+(а2n–1 – а2n). Все разности в скобках в илу первого условия положительны, поэтому последовательность частичных сумм {S2n} является возрастающей. Докажем, что она ограничена. Для этого представим S2n в виде S2n= а1 – [(а2 – а3)+(а4 – а5)+…+ (а2n–2 – а2n–1)+ а2n]. Отсюда следует, что S2n< а1 для любого n, т. е. {S2n} ограничена. Итак, последовательность {S2n} возрастающая и ограниченная Þ она имеет предел lim S2n=S. Докажем, что и последовательность частичных сумм нечетного числа членов сходится к тому же пределу S.

Действительно, S2n+1=S2n+ а2n+1. Переходя в этом равенстве к пределу при n®¥ и используя второе условие (аn®0 при n®¥), получаем

lim S2n+1=lim(S2n+ а2n+1)=lim S2n +lim а2n+1 =S+0=S. Таким образом, последовательность частичных сумм {Sn} ряда (1) сходится к пределу S. Это и означает, что ряд (1) сходится.