Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Властивості границь. Неперервність. Розриви функцій і
1. Властивості границь функцій.
Теорема 1. Нехай : X F, X, F - топологічні простори, якщо , то 0 - єдине.
(Довести самостійно, подібно аналогічній властивості для послідовностей).
Теорема 2. Нехай : X F, X - топологічний простір, F - метризоване, і в точці о має границю 0 по А, тоді існує окіл U точки о такий, що множина - обмежена.
Доведення. Візьмемо в якості V (згідно означення 1 лекції №11) кулю з центром у0 довільного радіуса R, тоді згідно з означенням границі існує окіл U точки 0 такий, що належить цій кулі, тобто обмежена.
Приклад. . Якщо в х0 має границю, то .
Теорема 3. (про границю складної функції). Нехай : X F, g: X G де X, F, G - топологічні простори. Якщо в точці x0 має границю y0 F, a g в точці у0 має границю z0 G, то складна функція в точці x0 має границю z0.
Доведення. Для будь-якого окола V точки z0, , існує окіл , що . Для окіл , що для будь-якого околу окіл х0 такий, що , тобто означення границі виконується.
Розглянемо тепер більш конкретну ситуацію.
Теорема 4. Нехай : X R1, g: X R1 (X - метричний) і мають скінчені границі в xо причому
мають скінчені границі при х х0 відповідно А В, ,
Доведення. Використаємо означення Гейне: для довільної послідовності , маємо за властивостями числових послідовностей, що і потрібно було довести. (Аналогічно доводяться і інші твердження).
Означення. Якщо : X R1, де Х - метризований, то будемо говорити, що нескінченно мала величина при , якщо
Кінцева сума нескінченно малих - нескінченно мала; добуток нескінченно малої на обмежену функцію - нескінченно мала (за властивостями границь).
Означення. Дві нескінченно малі при називаються еквівалентними, якщо
Наприклад, sinх~х при .
Означення. - нескінченно мала більш високого порядку ніж () при , якщо
Наприклад. g()= , ()= , тоді g()=o( ()) при .
Теорема 5. Нехай :X R1, g: X R1 (X - метричний) і для кожного , тоді
Якщо : X R1, g: X R1, q:X R1 і для кожного та існують
то існує границя g(x) при і
Доведення, як і властивість 4, за допомогою означення Гейне, та відповідної властивості послідовності.
Теорема 6. Нехай :E R1, де Е , а зростаюча на Е. Для того щоб мала границю при ( гранична для Е), необхідно і достатньо, щоб була обмежена зверху. Для того, щоб вона мала границю при ( 1 гранична для Е), необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена знизу.
Доведення провести самостійно.
2. Неперервність. Розриви.
Враховуючи означення неперервності (див. лекцію №7) і границі функції можна сформулювати висновок.
Означення. Функція ():X F неперервна в точці 0 X, якщо
З властивостей границь випливає, що всі ці властивості виконуються для неперервних функцій в точці або на всій множині X.
Зупинимось на властивості 4.
Якщо , g:X R1, де X - метричний простір, то з неперервності в 0 функції i g - неперервні в 0. Те ж саме можна сказати відносно складної функції.
Нехай - топологічні простори. Якщо в точці 0 неперервна, а g неперервна в точці , то складна функція неперервна в точці 0.
Приклад. З властивостей неперервних функцій та неперервності функцій , маємо
1. неперервна в неперервна в усіх точках, в яких знаменник не перетворюється в 0.
2. неперервна в - неперервне за виключенням точок у яких знаменник перетворюється в 0 (Q() – многочлен двох змінних).
Зупинимося на функціях :Rn R1. Як і для границі, з неперервності розділеної по змінним, не слідує неперервність взагалі. Наприклад,
по кожній змінній неперервна в (0,0), але границі не має, тобто неперервною не є.
Означення. Якщо рівність ( 0) = порушується, то говорять про розрив в точці 0.
Нехай (): R1→ R1, тоді говорять про розриви:
1. існує і скінчений, але () не визначена в 0 - розрив, що усувається.
2. Розриви 1-го роду зліва (зправa). Якщо = існує, але
3. Розриви 2-го роду зліва (зправa). Якщо , або не існує, або нескінченний.
Теорема. Монотонна функція має розриви тільки 1-го роду, причому не більше ніж злічене число.
Доведення спирається на теорему про границю монотонної функції. Довести самостійно.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 283 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!