Топологічні добутки. Послідовності в Rn

Повернемося до послідовностей у загальному вигляді.

Розглянемо ситуацію у метричних просторах, хоча усе зазначене нижче справедливе і у випадку довільних топологічних просторів.

Нехай - метрики в Е₁ і Е₂. На множині Е₁ Е₂ за допомогою формули можна ввести метрику.

Приклад.

На маємо:

На маємо:

Теорема. Для того, щоб послідовність ( ₁, ₁),...( _n, _n),... з Е₁ Е₂ була збіжною в точці (, b) у просторі Е₁ Е₂ необхідно і достатньо, щоб послідовність була збіжною в Е₁ до , a була збіжною у Е₂ до b.

Доведення.
Необхідність. Використовуючи нерівність , а також збіжність ( _n, _n) до (, b) (згідно з означенням границі).

Достатність випливає із збіжності і нерівності

Зауваження. Теорема справедлива для добутку n метричних просторів .

Приклад. Якщо з природною метрикою, то за даною теоремою маємо, що послідовність збігається до точки ( ₁,…, _n) тоді і тільки тоді, коли в .