Відношення порядку. Верхня границя. Приклади

Означення. Відношення називається бінарним відношенням на множині Е, якщо .

Означення. Бінарне відношення називається відношенням порядку, якщо виконуються наступні властивості:

а) (х, х) , (рефлективність),

б) (х, у) , (у, z) (x, z) (транзитивність),

в) (х, у) , (у, х) х = у (антисиметричність).

Часто в такому випадку пишуть , якщо (х,у) . Говорять: х передує або співпадає з у.

Приклад. 1. На множині всіх підмножин множини , якщо .

2. В прикладі лекції 1 .

3.

Означення. Відношення порядку є повним або Е – впорядковане, якщо для необхідно маємо: x < y, або х = у, або x > y.

Наприклад, у прикладах 1, 2 відношення порядку не повне, в прикладі 3 – повне.

Означення. Говорять, що підмножина А впорядкованої множини Е обмежена зверху (мажорована), якщо існує елемент , наступний за усіма елементами множини А, тобто , с- мажоранта або верхня границя множини А.

Означення. Говорять, що підмножина А впорядкованої множини Е обмежена знизу (мінорована), якщо існує елемент , попередній усім елементам множини А, тобто , де с - міноранта або нижня границя множини А.

Означення. с - максимум А, якщо і (с=max A).

Означення. с - мінімум А, якщо і (c=min A).

Твердження. Якщо множина А впорядкованої множини Е має максимальний (мінімальний) елемент с, то він єдиний.

Доведення. Нехай існує два максимальні елемента множини А – с₁, с₂. Тоді с₁ с₂ так як с₁ А, і с₂ с₁ так як с₂ А. Звідси с₁ = с₂, отже множина А впорядкованої множини Е має єдиний максимальний елемент.

Означення. Говорять, що с - точна верхня границя підмножини А впорядкованої множини Е, якщо с є мінімумом множини верхніх границь множини А. Позначають с = sup А.

Означення. c - точна нижня границя підмножини А впорядкованої множини Е, якщо с є максимумом множини нижніх границь множини А. Позначають с=inf A.