 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Список дисциплин, для изучения которых необходимы знания данного курса
|
|
1. Дифференциальные уравнения
2. Теория вероятностей и математическая статистика
3. Прикладная математика
4. Исследование операций
5. Системный анализ
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Тема 1. Элементарные понятия теории множеств. Общее понятие функциональной зависимости.
1. Логическая символика. Множества и операции над ними.
2. Множество вещественных чисел. Ограниченные множества вещественных чисел.
3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств.
4. Счетные множества. Несчетные множества, континуум.
5. Прямое произведение двух множеств.
6. Общее понятие функции, числовая и векторная функции; функция вещественного переменного.
Тема 2. Предел числовой последовательности.
7. Числовые последовательности и операции над ними.
8. Ограниченные и неограниченные последовательности.
9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.
10. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
11. Понятие сходящейся последовательности.
12. Основные свойства сходящихся последовательностей.
13. Предельный переход в неравенствах.
14. Монотонные последовательности и признаки их сходимости.
15. Число е.
Тема 3. Предел функции.
16. Функциональная зависимость и способы ее задания.
17. Предел функции.
18. Необходимое и достаточное условие существования предела.
19. Односторонние пределы.
20. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их сравнение.
21. Арифметические операции над функциями, имеющими предел.
22. Предельный переход в неравенствах.
23. Первый и второй замечательные пределы.
24. Ограниченные и неограниченные функции.
25. Локальная ограниченность функции, имеющей предел.
Тема 4. Непрерывные функции.
26. Непрерывность функции в точке.
27. Арифметические операции над непрерывными функциями.
28. Понятие обратной функции.
29. Монотонные функции.
30. Монотонные функции, имеющие обратную.
31. Понятие сложной функции.
32. Непрерывность и предельное значение некоторых сложных функций.
33. Понятие элементарной функции; класс элементарных функций.
34. Точки разрыва функции и их классификация.
35. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
36. Первая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака).
37. Вторая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение).
38. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на сегменте функции).
39. Точные верхняя и нижняя грани ограниченной функции.
40. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на сегменте функцией точных верхней и нижней граней).
Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.Производная и дифференциал функции.
41. Приращение аргумента и функции.
42. Разностная форма условия непрерывности функции.
43. Понятие производной.
44. Физический и геометрический смысл производной.
45. Правая и левая производные.
46. Дифференцируемость функции в точке.
47. Непрерывность дифференцируемой функции.
48. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
49. Теорема о дифференцировании обратной функции.
50. Производные основных элементарных функций.
51. Дифференцирование сложной функции.
52. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
53. Дифференциал функции.
54. Инвариантность первого дифференциала функции.
55. Формулы и правила вычисления дифференциалов.
56. Геометрический смысл дифференциала функции.
57. Производные и дифференциалы высших порядков.
58. Формула Лейбница производной n-го порядка произведения двух функций.
59. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
60. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
61. Возрастание и убывание функции в точке.
62. Лемма Ферма (об условиях возрастания и убывания дифференцируемой в точке функции).
63. Локальный экстремум функции.
64. Теорема Ферма (о необходимом условии локального экстремума).
65. Теорема Ролля (о нуле производной).
66. Теорема Лагранжа; формула конечных приращений.
67. Теорема (правило Лопиталя) о раскрытии неопределенностей вида 0/0.
68. Теорема о раскрытии неопределенностей вида ¥/¥.
69. Раскрытие неопределенностей других видов: 0*¥, ¥-¥, 1¥, ¥0.
70. Формула Тейлора.
71. Остаточный член формулы Тейлора в формах Лагранжа, Пеано.
72. Формула Маклорена.
73. Оценка остаточного члена в форме Лагранжа для формулы Маклорена.
Тема 6. Приложение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков функций.
74. Интервалы возрастания и убывания функции. Теорема о достаточном условии возрастания (убывания) функции на интервале.
75. Стационарные точки функции. Теорема о достаточном условии экстремума функции (первое и второе достаточные условия).
76. Направление выпуклости графика функции (вверх, вниз).
77. Теорема о направлении выпуклости функции, имеющей конечную вторую производную на интервале.
78. Теорема о направлении выпуклости графика функции, имеющей непрерывную вторую производную в данной точке.
79. Точки перегиба графика функции.
80. Асимптоты графика функции. Теорема о необходимом и достаточном условии существования наклонной асимптоты.
81. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
82. Наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.
Тема 7. Неопределенный интеграл.
83. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.
84. Основные свойства неопределенного интеграла.
85. Таблица основных неопределенных интегралов.
86. Интегрирование заменой переменной и по частям.
87. Разложение алгебраического многочлена на множители над полем действительнных чисел.
88. Теорема о разложении правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами.
89. Проблема интегрирования рациональных дробей. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений.
Тема 8. Определенный интеграл.
90. Понятие определенного интеграла.
91. Интегрируемость (в смысле Римана) функции на сегменте.
92. Теорема о неинтегрируемости неограниченной на сегменте функции.
93. Верхние и нижние суммы. Свойства верхних и нижних сумм.
94. Верхний и нижний интегралы Дарбу.
95. Лемма Дарбу.
96. Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости (по Риману) функции на сегменте.
97. Теорема об интегрируемости (по Риману) непрерывной на сегменте функции.
98. Основные свойства определенного интеграла.
99. Первая и вторая формулы среднего значения определенного интеграла.
100. Теорема о существовании первообразной для непрерывной на интервале функции.
101. Формула Ньютона-Лейбница вычисления определенного интеграла. Замена переменной под знаком определенного интеграла.
102. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Тема 9. Геометрические приложения определенного интеграла.
103. Спрямляемость и длина дуги плоской кривой.
104. Теорема о достаточных условиях спрямляемости и длине дуги плоской кривой.
105. Вычисление длины дуги плоской кривой при различных способах ее задания.
106. Дифференциал дуги плоской кривой.
107. Кривизна плоской кривой.
108. Квадрируемость и площадь плоской фигуры.
109. Теорема о необходимом и достаточном условии квадрируемости плоской фигуры.
110. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах; утверждение о квадрируемости и площадь криволинейной трапеции.
111. Площадь плоской фигуры в полярных координатах; утверждение о квадрируемости и площади криволинейного сектора (без доказательства).
112. Кубируемость и объем пространственного тела. Теорема о необходимом и достаточном условии кубируемости конечного пространственного тела.
113. Оъем цилиндрического тела; утверждение о кубируемости и объеме цилиндрического тела (и как следствие кубируемости ступенчатого цилиндрического тела); утверждение о кубируемости конечного пространственного тела (как следствие кубируемости ступенчатого конечного пространственного тела).
114. Объем тела вращения; утверждение о кубируемости и объеме тела вращения.
Тема 10. Несобственный интеграл.
115. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (общие понятия; сходимость и расходимость).
116. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
117. Абсолютная сходимость несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
118. Теорема о сходимости (в обычном смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования (общий признак сравнения).
119. Несобственные интегралы от неограниченных функций (общие понятия; сходимость и расходимость).
120. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций.
121. Абсолютная сходимость несобственных интегралов от неограниченных функций.
122. Теорема о сходимости (в общем смысле) абсолютно сходящегося несобственного интеграла от неограниченной функции.
Тема 11. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.
123. Понятие n-мерного координатного и n-мерного евклидова пространств.
124. Конкретные множества в Rn (n-мерный шар, n-мерная сфера, n-мерный координатный параллелепипед).
125. Понятие функции n переменных.
126. Сходящиеся последовательности точек в Rn.
127. Предельное значение и непрерывность функции нескольких переменных.
128. Теорема о необходимом и достаточном условии непрерывности функции нескольких переменных.
129. Дифференцируемость функции нескольких переменных; теорема об эквивалентности двух условий дифференцируемости функции.
130. Теорема существования частных производных дифференцируемой функции нескольких переменных.
131. Теорема о дифференцируемости функции нескольких переменных, имеющих непрерывные частные производные.
132. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции нескольких переменных.
133. Дифференциал функции нескольких переменных.
134. Теорема о дифференцируемости сложной функции нескольких переменных.
135. Инвариантность формы первого дифференциала функции нескольких переменных.
136. Неявные функции.
137. Теорема существования и дифференцируемости неявной функции (без доказательства).
138. Частные производные неявной функции.
139. Геометрическая иллюстрация условия дифференцируемости функции двух аргументов.
140. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
141. Геометрический смысл частной производной и первого (полного) дифференциала функции двух аргументов.
142. Частные производные высших порядков функции нескольких переменных.
143. Теорема о независимости значения второй смешанной частной производной от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.
144. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
145. Производная по направлению.
146. Градиент.
147. Экстремум функции нескольких переменных.
148. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
149. Локальный экстремум функции нескольких переменных.
150. Теорема о необходимости условия локального экстремума функции нескольких переменных.
151. Понятие квадратичной формы.
152. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы (без доказательств).
153. Теорема о достаточном условии существования локального экстремума функции нескольких переменных.
154. Теорема о достаточном условии существования локального экстремума функции двух переменных.
155. Условный экстремум функции нескольких переменных.
156. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
Тема 12. Кратные и криволинейные интегралы.
157. Двойные интегралы. Понятие двойного интеграла; его геометрический смысл.
158. Верхние и нижние суммы Дарбу; интегрируемость функций двух аргументов.
159. Свойства двойного интеграла.
160. Понятие тройного интеграла; его физический смысл.
161. Верхние и нижние суммы Дарбу; интегрируемость функций трех аргументов.
162. Свойства тройного интеграла.
163. Вычисление двойного и тройного интегралов.
164. Замена переменных в двойном и тройном интегралах.
165. Кратные несобственные интегралы; интеграл Пуассона.
166. Понятие о криволинейных интегралах. Гладкие и кусочно-гладкие кривые.
167. Криволинейный интеграл I-го рода (от скалярной функции); его свойства.
168. Криволинейный интеграл II-го рода. Его приложения.
169. Связь между криволинейными интегралами I-го и II-го рода.
170. Формула Грина.
171. Условия независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования.
Тема 13. Ряды.
172. Числовые ряды. Числовой ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды.
173. Критерий Коши сходимости числового ряда.
174. Ряды с положительными членами: необходимое и достаточное условие их сходимости.
175. Признаки сравнения, устанавливающие сходимость (расходимость) числовых рядов.
176. Признак Даламбера.
177. Признак Коши. Интегральный признак Коши-Маклорена.
178. Абсолютно и условно сходящиеся числовые ряды.
179. Арифметические операции над сходящимися числовыми рядами.
180. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся числовых рядов.
181. Функциональные последовательности и ряды.
182. Понятие функциональной последовательности.
183. Сходимость функциональной последовательности (в точке, на множестве; равномерная сходимость на множестве).
184. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности; достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей (без доказательства).
185. Функциональные ряды. Сходимость функционального ряда (в точке, на множестве; равномерная сходимость на множестве). Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.
186. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов (непрерывность предельной функции и суммы ряда); предельный переход под знаком интеграла и почленное интегрирование; предельный переход под знаком производной и почленное дифференцирование.
187. Степенные ряды; область сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда.
188. Непрерывность суммы степенного ряда.
189. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Достаточные условия разложимости функции в степенной ряд.
190. Понятие о рядах Фурье. Ортонормированные системы элементов в гильбертовом пространстве. Ряд Фурье элемента по ортонормированной системе; коэффициенты Фурье элемента. Ряд Фурье по основной тригонометрической системе.
191. Замкнутые и ортонормированные системы; равенство Парсеваля; полнота замкнутой ортонормированной системы.
192. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами.
193. Замкнутость основной тригонометрической системы.
194. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование тригонометрического ряда Фурье.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1. Математический анализ: Учебное пособие/ Э.А. Геворкян; Каф. Высшей математики. - М.: МЭСИ, 2004. - 328 с.
2. Математический анализ в вопросах и задачах: учебное пособие / В.Ф. Бутузов. - М: Высшая школа, 1993
3. Курс математического анализа: т.1 / С.М. Никольский. - М: Наука, 1990
4. Многомерный математический анализ: учебное пособие / Д.А. Райков. - М: Высшая школа, 1989
5. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие / Под ред. Демидовича Б.П. - М.: АСТ, 2003
6. Сборник задач по курсу математического анализа: уч. пособие. - 22-е изд., перераб. / Г.Н. Берман. - СПб: Профессия, 2003
7. Краткий курс математического анализа: учебник для вузов / А.Ф. Бермант; И.Г. Араманович. - СПб.: Лань, 2005
8. Математический анализ: учебник / В.А. Ильин, В.А. Садовничий; А.Н. Тихонов. - М: МГУ, 1987
9. Основы математического анализа: в 2-х ч. Ч. 2 / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк; Ш.А. Алимов. - М: Наука, 1980
10. Элементы теории функций и функционального анализа: учебник / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1989
11. Курс математического анализа: в 3Т. т.1 / Л.Д. Кудрявцев. - М: Высшая школа, 1988
12. Краткий курс теории экстремальных задач: учебное пособие / Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. - М: МГУ, 1989
13. Математический анализ: учебник / А.Г. Мордкович. - М: Высшая школа, 1990
14. Математический анализ в вопросах и задачах: учебное пособие / В.Ф. Бутузов. - М: Высшая школа, 1993
15. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов: учебное пособие / Под ред. Демидовича Б.П. - М.: АСТ, 2003
16. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB / Ч. Г. Эдвардс. - М.: И.Д. Вильямс, 2008
Дополнительная литература:
1. В.А. Никишкин, Н.И. Максюков, А.Н. Малахов. Высшая математика. М., «МЭСИ», 2006.
2. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч. 1, 2, М., Высшая школа, 1980.
3. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1962.
4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1998.
5. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Ч.1, М., Наука, 1971; Ч.2, М., Наука, 1973.
6. Г.М. Фихтенгольц. Основы дифференциального и интегрального исчисления. Т.1, 2, 3, М., Наука, 1968.
7. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ. М., Наука, 1979.
8. В.С. Шипачев. Высшая математика. М., Высшая школа, 1985.
9. Г.С. Бараненков, Б.П. Демидович и др. Задачи и упражнения по математическому анализу (для ВТУЗов), М., Наука, 1970.
10. Г.П. Толстов. Ряды Фурье. М., Наука, 1980.
11. Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Высшая математика. Ростов-на-Дону, Феникс, 1998.
12. Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа, т. 2, § 57, М.: Наука, 1970.
13. П.И.Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М.: Наука, 1981.
14. С.Г.Михлин. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959.
15. Бугров Я.С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Краткие интегралы. Ряды Функции комплексной переменной. Ростов Н/Д. Издательство «Феникс», 1998.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 386 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
