Лекция 5 групповой выбор

Если решение принимается некоторой группой людей, мы говорим, что имеет место групповой выбор. Постановка задачи. Пусть решение принимается группой, состоящей из n человек. Пусть на множестве альтернатив Х задано n возможно различных индивидуальных предпочтений (бинарных отношений) R1, R2, …, Rn. Найти такое бинарное отношение R=F(R1, R2, …, Rn), зависящее от R1, R2, …, Rn, которое согласует индивидуальные предпочтения и выражает групповой выбор данной группы. Вообще говоря, функция F, связывающая индивидуальные предпочтения и групповой выбор, может быть произвольной. Более того, она может зависеть не только от индивидуальных предпочтений, но и от других факторов: R=F(R1, R2, …, Rn, Q1, …, Qm). Например, не редко в групповом выборе учитывается исход случайных событий, таких как бросание жребия! Наиболее распространенным методом принятия групповых решений является голосование. Рассмотрим различные правила голосования.

• Правило большинства. Принятой считается альтернатива, получившая наибольшее число голосов.

• Правило простого большинства. Принятой считается альтернатива, получившая больше половины (хотя бы 51%) голосов.

• Правило «Председатель имеет два голоса». При голосовании альтернативе, получившей поддержку председателя, засчитывается два голоса.

• Правило подавляющего большинства. Принятой считается альтернатива, получившая примерно 3/4 всех голосов. Если никакая альтернатива не получила необходимой поддержки, то выбор считается неопределенным.

• Правило абсолютного большинства. Принятой считается альтернатива, которую поддержало почти 100% голосовавших. Если не одна альтернатива не набрала нужного числа голосов, то выбор остается неопределенным.

• Правило единогласия. Принятой считается альтернатива, получившая все голоса. Это же правило можно назвать и правом вето. Действительно, даже голос одного участника голосования может привести к отклонению альтернативы! В этом случае ситуация неопределенного выбора после голосования также возможна.

Наиболее простой и демократичной процедурой кажется выбор по правилу большинства. Когда выбирается альтернатива, получившая наибольшее число голосов. Однако, за кажущейся простотой скрывается подвох. Результат голосования по правилу большинства нельзя считать критерием истины. Любая форма голосования является только способом согласования выбора. Можно привести примеры, когда правило большинства не работает: 1. Голоса разделились поровну. В этом случае может прийти на помощь правило «председатель имеет два голоса» 2. В разнородной группе выборщиков имеется клика, преследующая общую цель. В том случае, когда голоса остальных выборщиков разделятся равномерно, эта клика сможет навязать большинству свою волю! Правила простого и подавляющего большинства, например лишены перечисленных недостатков общего правила большинства. Однако, они, как и все оставшиеся правила голосования могут приводить к отказу от принятия решения. В реальности такие ситуации обычно не приемлемы – решение должно быть принято.

Существуют различные методы гарантирующие принятие решения, или хотя бы уменьшающие долю ситуаций приводящих к отказу от принятия решения.

1. Первый такой метод состоит в принятии некоторого общего критерия для оценки альтернатив путем голосования по правилу абсолютного большинства или единогласия. Голосование повторяется для разных критериев до тех пор, пока решение по критерию оценки альтернатив не будет принято. Как только решение по критерию принято, выбор среди исходных альтернатив осуществляется полностью формализованным методом решения однокритериальной задачи выбора.

2. Когда голоса экспертов разделились поровну в пользу различных альтернатив, экспертам предлагается выстроить ряды предпочтения для элементов множества альтернатив. Так, например, если исходное множество альтернатив состояло из элементов a, b, c и мнение двух экспертов А и В разделилось. А выбрал а, В выбрал b. Множество альтернатив дополняется новыми альтернативами, например, d, e, f. И экспертов просят расположить все альтернативы в порядке убывания предпочтения: А: a, d, e, c, f, b B: b, a, c, d, e, f Далее измеряется количество альтернатив, которое каждый из экспертов поместил между двумя альтернативами, выбранными в ходе голосования. Предпочтение отдается выбору того эксперта, который поместил наибольшее число альтернатив между своим выбором и выбором другого участника голосования. Такой выбор называется выбором по силе предпочтения.

3. Когда голосование не привело к принятию решения, а консенсус относительно критерия оценки альтернатив не был достигнут, выбор можно перепоручить ответственному лицу. То есть, решение принимается недемократически, по принципу «диктатуры». Во многих случаях решение вполне приемлемо принимать по правилу диктатуры. Так, например, мы действовали, используя метод условной максимизации. Там мы выделяли один основной критерий, хотя критериев вообще говоря могло быть много. В других случаях диктаторский метод является единственно возможным. Например, единоначалие в армии, принятие решений в чрезвычайной ситуации.

Мы уже столкнулись с первым таким парадоксом: Возможность отказа от принятия решения из-за недостаточного числа голосов в пользу любой из альтернатив. Казалось бы, исключив такую возможность можно гарантировать адекватное принятие групповых решений! Однако, тогда мы приходим к другому парадоксу голосования. Отношение предпочтения, которое описывается результатами голосования оказывается нетранзитивным! Мы хотим избежать ситуации отказа от принятия решения, поэтому в наших примерах три избирателя будут в каждом туре голосования выбирать из двух альтернатив. Таким образом, принятие хоть какого-то решения в каждом туре голосования гарантировано. Рассмотрим примеры:

1. Три молодых человека А, Б, В хотят определить чья подружка краше. У каждого из них есть свой набор предпочтений: А: 1>2>3 Б: 2>3>1 В: 3>1>2 Голосуют по правилу простого или подавляющего большинства, предъявляя альтернативы попарно, чтобы гарантировать принятие решения. Для построения полного набора предпочтений (рейтинга красоты) потребуется провести три тура голосования по парам: (1,2) (2,3) (3,1). Так как нам известны индивидуальные предпочтения участников голосования, мы можем легко предсказать результаты каждого тура: 1) 1>2 2) 2>3 3) 3>1 Таким образом, итоговый результат 1>2>3>1 – любая девушка краше любой другой девушки, если отношение > - транзитивно. А значит оно нетранзитивно!

2. Та же самая задача выбора решается теми же самыми участниками. Наученные горьким опытом, они используют новую процедуру голосования. Голосование осуществляется снова попарно по правилу простого или подавляющего большинства. Но теперь предъявляются не просто все возможные пары, а на каждом туре выбывшая альтернатива заменяется новой. Предположим первой предъявляется пара (1, 2), зная индивидуальные предпочтения участников, мы можем предсказать результаты голосования: 1) (1, 2) 1>2 2) (1, 3) 3>1 В итоге девушка с номером 3 признается самой очаровательной и обаятельной. Предположим теперь, первой предъявляется пара (2, 3): 1) (2, 3) 2>3 2) (2, 1) 1>2 Тогда самой красивой “демократично” была выбрана девушка с номером 1! Если же первой парой на голосование была предъявлена пара (1, 3), то первой красавицей будет выбрана девушка с номером 2! То есть результат голосования во втором примере полностью зависит не от участников голосования, а от его организатора!!!

Приведенные примеры являются частными случаями Теоремы, получившей название “Парадокс Эрроу” или “Теорема о невозможности”. Суть этой теоремы состоит в том, что для некоторого естественного набора требований согласованности группового выбора, не существует правила выбора всем этим требованиям удовлетворяющего!

Теорема (Парадокс Эрроу) Пусть F(R1, R2, …, Rn) – оператор определяющий групповой выбор n участников с предпочтениями R1, R2, …, Rn. Естественно потребовать, чтобы оператор F согласованного выбора удовлетворял следующим условиям:

1) n≥2, число альтернатив ≥ 3, F определена для любых наборов индивидуальных предпочтений R1, R2, …, Rn.

2) Условие монотонности. Если в результате группового выбора предпочтение было отдано альтернативе х, то результат должен остаться прежним, если кто-то из отвергавших альтернативу х изменит свое решение в пользу х.

3) Условие независимости несвязанных альтернатив. Если изменение набора индивидуальных предпочтений R1, R2, …, Rn для каждого Ri сохранило порядок предпочтения не альтернатив из некоторого набора YХX, то и упорядочение альтернатив, полученное в результате группового выбора, определенного оператором F, не должно изменить взаимного расположения альтернатив из набора Y.

4) Условие суверенности. Для любой пары альтернатив x и y существует такой набор индивидуальных предпочтений R1, R2, …, Rn, для которого F(R1, R2, …, Rn)=(x>y). Смысл этого условия в том, что каждая альтернатива имеет шанс быть выбранной. То есть исключается возможность навязывания какого-то выбора независимо от индивидуальных предпочтений участников группового процесса принятия решения.

5) Условие отсутствия диктаторства. Среди участников голосования не должно быть такого, что из его предпочтения x>y (для любых x и y) следует F(R1, R2, …, Rn)=(x>y).

Парадокс состоит в том, что такого оператора группового выбора не существует! Другим примером ограниченной применимости демократического голосования является задача о перераспределении ресурсов.

Условия задачи. В голосовании участвуют n субъектов, каждый из которых владеет долей a i некотрого общего ресурса a= a 1 + a 2 + … + a n. Вектор A= (a 1,a 2, …,a n) характеризует распределение общего ресурса в некоторый момент времени. Голосование осуществляется по правилу тотального абсолютного большинства, когда решение принимается только если не менее n-1 голосов поддержало данную альтернативу. Будем считать, что каждый участник не заинтересован в потере обладания общим ресурсом (деньгами, например). Тогда система перейдет из распределения ресурса, описанного вектором А в другое распределение, описанное вектором B, только если ровно один участник подвергся «демократическому отъему» у него общего ресурса: $! i (A i≥B i). Если никто не уменьшил свою долю обладания общим ресурсом, состояние системы, описанное распределением ресурса не изменится.

Вопрос. В каких случаях существует путь от исходного распределения, заданного вектором A, к некоторому произвольному распределению ресурса, заданному вектором B, такой что перераспределение общего ресурса на каждом шаге принимается голосованием, описанным в условиях задачи?

Парадокс: Оказывается, такой путь существует всегда. То есть в условиях абсолютной эгоцентричности голосующих, которые всегда голосуют за увеличение их доли обладания некоторым ресурсом и никогда не голосуют против отъема этого ресурса у других, всегда существует «очень демократический» способ прийти к любому заранее заданному распределению этого общего ресурса между голосующими!

Мы уже упоминали, что вмешательство коалиций способно свести на нет демократичность процедуры голосования по правила большинства. Однако, коалиции способны расстроить и более сложные и на первый взгляд надежные процедуры голосования.

Рассмотрим пример многоступенчатой процедуры голосования. На каждом этапе решение принимается, только если 2/3 голосов его поддержало. Выборщики разделены на 9 групп по 3 человека. Каждый голосует либо «за», либо «против». Далее формируется решение каждой группы по правилу 2/3. На втором этапе эти решения снова группируются по три, и по правилу 2/3 формируется финальная тройка. Третий этап заключается в определении окончательного решения из финальной тройки снова по правилу 2/3. Проиллюстрируем, как меньшинство может навязать свою волю большинству при голосовании в соответствии с этой процедурой.

Выборщики разделены на 9 групп по 3 человека. Каждый голосует либо «за», либо «против». Далее формируется решение каждой группы по правилу 2/3.

На втором этапе эти решения снова группируются по три, и по правилу 2/3 формируется финальная тройка.

Третий этап заключается в определении окончательного решения из финальной тройки снова по правилу 2/3.

Проиллюстрируем, как меньшинство может навязать свою волю большинству при голосовании в соответствии с этой процедурой. Приведенный пример показывает, как коалиция из 8 человек «демократически» навязала свою волю группе из 27 человек!

Рассмотрев парадоксы голосования, мы можем сделать вывод. Для принятия согласованного решения недостаточно просто проголосовать. Нужно помнить:

1) Отношение предпочтения, определяемое голосованием нетранзитивно. Голосование, вообще говоря, нельзя использовать для упорядочивания элементов в смысле транзитивных отношений порядка (Первый пример с определением рейтинга красоты).

2) Процедура голосования должна быть построена так, чтобы организатор голосования не мог навязать свою волю, зная предпочтения избирателей (как это было во втором примере с выбором самой красивой девушки).

3) Нужно строить процедуру голосования так, чтобы избежать возможности коалициям навязывать свою волю большинству

4) Нужно иметь ввиду, что формально построение процедуры голосования, обеспечивающий принятие согласованного решения на любом множестве альтернатив и любых наборах индивидуальных предпочтений невозможно (парадокс Эрроу). Таким образом, для каждой ситуации следует разрабатывать наиболее подходящую процедуру голосования.

5) Каждый раз, когда вы участвуете в голосовании, анализируйте, действительно ли процедура приводит к демократическому принятию согласованного решения.

Таким образом, наиболее распространенная процедура группового выбора – голосование. С одной стороны голосование может приводить к несогласованным решениям, как в случае с коалицией среди выборщиков. С другой стороны, голосование может привести к отказу от принятия решения. ниверсальной процедуры голосования не существует. Каждая ситуация требует индивидуального подхода. Мы перечислили несколько парадоксов, которые свойственны голосованию. А знать своего врага, значит победить его!