Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке Мсовпадают с F(M)

В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые к оси цилиндра.

При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору F(M). Условие коллинеарности двух векторов = F(M) приводит к системе двух дифференциальных уравнений (26)

решение которых и определит уравнения векторных линий.

Пр. Найти векторные линии в.п. F(M) = x i – y j – 2 k.

{ ; }

1 уравнение: ln x = - ln y + ln C₁ ln(xy) = ln C₁ xy = C₁ – гиперболический цилиндр

2 уравнение: ln y = ½ lnz + ln C₂ ln y²/z = ln C₂ y² = zC₂ – параболический цилиндр

Векторными линиями являются линии пересечения этих поверхностей. Для каждой точки М существует свой набор констант С₁, С₂.

Поток векторного поля через поверхность.

Пусть даны в.п. F(M) = {P, Q, R} и двухсторонняя ориентированная поверхность G с нормальным вектором n(M) = { }.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы F, n имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора F через бесконечно малую площадку.

П = (F n) S = |F| cos(F^n) S = |F|_n S (27)

Пусть F - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S. |F|_n - высотабруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos(F^n) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = () S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей.Пусть проекции имеют форму прямоугольников, тогда

П = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy (28)

Множитель означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Перейдем к поверхности G. Разделим ее на m малых площадок, для каждой определим П_i и просуммируем их П(m) = П_i. Если П_i определяется по формуле (28), то предел m для этой интегральной суммы наз. поверхностным интегралом 2-ого рода

П_G = = = (29)

Опр. Потоком векторного поля F(M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит череззамкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности.

Гидродинамический смысл поверхностного интеграла 2 рода - разность между количествами жидкости вошедшими и вышедшими из замкнутой поверхности в единицу времени.

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Направление передачи тепла в каждой точке задают нормали к изотермическим поверхностям U(x,y,z) = C, т.е. grad U. Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры от слоя к слою, т.е. |grad U|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле F(M) = - k grad U(M) и общее количество тепла прошедшего через некоторую поверхность G равно

Если G замкнутаяповерхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0, то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме.

Пр. Найти поток сферического векторного поля с обратной квадратичной зависимостью F = r / |r|³ (закон Кулона ) через сферу радиуса r.

Решение: нормированный нормальный вектор к любой точке сферы коллинеарен её радиус-вектору n = r /|r| и F n = r r /|r|⁴ = |r| ^-2 – const на сфере. Поэтому

П = = |r|^-2 = S /|r|² = (4 |r|²) / |r|² = 4

Т.о., поток не зависит от радиуса сферы и при |r| 0 оказывается «мощность» точечного «источника», расположенного в центре сферы.

В общем случае поток векторного поля F по замкнутой поверхности G можно отнести к единице объема - П_G / V, где V – объем ограниченный G, затем перейти к пределу V 0 и определить мощность потока из отдельной точки.

Опр. Дивергенцией (расходимостью) векторного поля F(M)в точке Мназ.предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности Gв точкуМ

= div F(M) (30)

Знак div определяет наличие источника (+) или стока (-) в точке М, а сама дивергенция их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля F(M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и опреде-ся по формуле

div F(M) = P’_x(M) + Q’_y(M) + R’_z(M) (31)

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока (29) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

П_G = = = V [P’_x + Q’_y + R’_z ]_M^* (32)

При переходе к пределу lim П_G / V при V 0 точка M* M и получаем (31).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме

(33)

т.е. интеграл от дивергенции векторного поля по объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем. Сумма «мощностей» всех точечных «источников» и «стоков» дает общий результат, т.е. поток поля через поверхность.

Ротор (вихрь) векторного поля.

Опр. Циркуляцией векторного поля. F(M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой

Ц _L = = (34)

Физический смысл циркуляции - работа по перемещению тела в поле переменных сил по произвольной замкнутой траектории, т.к. работа есть скалярное произведения вектора силы и вектора смещения.

Пусть в векторном поле F замкнутый контур L проходит через точки А, B, C, D. Линией АС разделим его на два контура L₁, L₂. Тогда циркуляцию вдоль L можно представить как сумму циркуляций вдоль малых контуров при одинаковом направлении прохождения. Действительно,

Ц₁ + Ц₂ = + + + = + = Ц _L

т.к. общую границу АС проходим дважды в противоположных направлениях. Т.о., циркуляция по контуру L является аддитивной величиной и может быть представлена как сумма циркуляций по малым контурам, полученным путем наложения сетки линий на контур L. В пределе малым участком может оказаться отдельная точка. Тогда циркуляция по контуру сведется к сумме циркуляций вокруг всех точек охваченных контуром L.

Пр. Найти циркуляцию векторного поля F = yi – x j + z k вдоль окружности

x = r cos t, y = r sin t, z = 1 в положительном направлении, т.е. 0 < t < 2

Решение: Ц = = {dx = -r sin t; dy = r cos t; dz = 0} = - r² = -2 r²

Отношение циркуляции к площади круга S = r² постоянно Ц /S = -2, даже при r .

Из этого следует, что циркуляция в самой точке начала координат равна -2.

Циркуляцию векторного поля F(M) по контуру L по формуле Стокса можно представить как интеграл по поверхности G, натянутый на этот контур

Ц _L = = =

= (35)

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов: вектора n = { } и вектора

(R’_y – Q’_z) i + (P’_z – R’_x) j + (Q’_x - P’_y) k rot F (36)

который наз. ротором (вихрем) векторного поля F(M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

= (37)

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в (37) размер G достаточно мал и вектора rot F, n почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot F n) ее значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по S даст площадь поверхности и

(rot F n)|_M* = 1/S (38)

т.е. ротор характеризует величину циркуляции, приходящуюся на единицу площади поверхности охваченную контуром L. Перейдем в (38) к пределу S 0, тогда M* M и ротор будет характеризовать циркуляцию вокруг отдельно взятой точки.

Опр. Ротором векторного поля F(M) наз. вспомогательное векторное поле rot F(M), вектора которого в каждой точке определяют значение циркуляции вокруг этой точки |rotF(M)| и ориентацию плоскости, в которой эта циркуляция максимальна.

Произведение rot F(M) n(M) = |rot F(M)|cos (rot F^n) максимально при нулевом угле.

Ротор векторного поля F(M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot F(M) = x F(M) = (39)

Физический смысл формулы Остроградского-Гаусса – циркуляция по произвольному замкнутому контуру в пространстве складывается из суммы циркуляций всех точек любой поверхности натянутой на этот контур.

Простейшие векторные поля.

а) Трубчатое или соленоидальное векторное поле, если div F = 0.

Через все точки произвольной замкнутой кривой проведем векторные линии поля F. Они образуют сплошную трубку. Нормальный вектор n к ее поверхности векторам поля скалярное произведение F n = 0 и поток через поверхность трубки также равен нулю. Проведем два сечения трубки. Т.к. внутренних «источников» поля нет, то входящие и выходящие через сечения потоки поля совпадают по величине и противоположны по знаку.

б) Потенциальное или безвихревое векторное поле, если rot F = 0. Его можно представить как градиент скалярного поля F(M) = grad U(M), где U(M) – наз. потенциалом векторного поля. Связь между ними: P = U’_x, Q = U’_y, R = U’_z. Компоненты rot F в этом случае есть разность одинаковых смешанных производных и они равны нулю (R’_y – Q’_z)_x = U’’_zy - U’’_yz = 0.

в) Гармоническое векторное поле, если div F = 0, rot F = 0. Потенциал такого поля удовлетворяет волновому уравнению Лапласа, решения которого наз. гармоническими функциями

Устные экзаменационные вопросы

по теме «Элементы теории поля»