Поверхностные интегралы. Теория поля

Тема: Векторный анализ.

Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k, t₁ < t < t₂ .

Приращение радиус-вектора r = r(t+ t) – r(t) определяет прямую проходящую через 2 точки L, которая при t 0 превращается в касательную. Направление касательной в каждой точке кривой L задает производная dr/dt = x`<sub>t</sub> i + y`_t i + z`<sub>t</sub> k = {x`_t; y`<sub>t</sub>; z`_t} = S(t).

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0, в точке М₀, наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М₀.

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M₀. Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Т.к. производная от константы равна нулю, то

Это выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов: N S = 0, где S – направляющий вектор касательной к L и

N ={ } (1)

Поскольку N S для любой линии, проходящей по поверхности через М₀,то по определению, N (1) является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М₀. Касательная плоскость в т. М₀ существует, если координаты N непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.

Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты N и его направляющие косинусы

(2)

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора n непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора n не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.

Площадь гладкой поверхности.

Понятие площади определено только для геометрических фигур на плоскости. Это количество квадратиков стандартного размера, которые умещаются на фигуре. Определение площади кривых поверхностей требует специального подхода и решается методом интегральной суммы.

Имеем гладкую поверхность G. Ее проекция на плоскость хОу занимает область D. 1) Разделим поверхность G сеткой линий на m участков G₁, G₂,..., G_m. 2) На каждом G_i выделим точку М_i, проведем через М_i касательную плоскость к G и спроектируем на нее точки участка G_i. В результате получим плоскую фигуру G_i* с площадью S_i и вся гладкая поверхность покроется «многогранником». 3) Общую площадь «многогранника» определяет интегральная сумма . 4) Переход к

пределу m дает точное значение для площади криволинейной поверхности G

(3)

Опр. Площадью криволинейной поверхности наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла по площади (3) совершим переход к двойному интегралу с помощью второго проектирования. Каждый плоский многоугольник G_i* имеет свой нормальный вектор n_i и может быть спроектирован на плоскость хОу. Отношение площадей любого многоугольника и его проекции равно косинусу угла между ними, т.е. D_i / S_i =сos , т.к. линейный угол между плоскостями G_i* и D_i равен углу между n_i и Oz.

{ Пример.Сравним площади ABC и его проекции ABE. , }.Пусть D_i имеет форму прямоугольника, тогда D_i = x_i y_i, S_i = x_i y_i / сos = x_i y_i и интегрирование по площади кривой поверхности заменяется на интегрирование по площади ее проекции, т.к. элементы площади заменяются на элементы dxdy

(4)

Пр. Найти площадь поверхности z = x y, лежащей над кругом x² + y² < R².

Решение: т.к. , то

Задача о массе поверхности.

Пусть на гладкой поверхности z = z(x,y) распределена масса с поверхностной плотностью = f(x,y,z). Найти массу всей поверхности.

Задачу решаем методом интегральной суммы аналогично предыдущей задаче. Отличие заключается только в том, что в интегральной сумме (3) каждое S_i дополнительно умножаем на плотность, которую считаем постоянной и равной = f( M_i)

(5)

Опр. Поверхностным интегралом 1-ого рода от функции f(x,y,z) по поверхности z =z(x,y) наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения поверхности на малые участки и проектирования их на касательные плоскости.

Для вычисления интеграла элемент поверхности dS выразим через его проекцию на плоскость хОу: , и в функции f(x,y,z) переменную z заменим на z(x,y), т.е. перейдем к значениям функции на самой поверхности.

(6)

Пр. Вычислить массу части параболоида z = 1 – x² – y², отсеченной плоскостью z = 0, если поверхностная плотность .

Т.к. p = -2x, q = -2y, D: x² + y² <1, {x = r cos , y = r sin }, то

m =

Если поверхность задается в параметрической форме: x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), где точка (u;v) пробегает некоторую область H на плоскости uOv, то интеграл вычисляется по формуле

(7)

где , , (8)

Здесь переход от элемента поверхности dS к его проекции на параметрическую плоскость определяется формулой .

Пр. Рассмотрим сферу радиуса r. В сферической системе координат x = r sin cos , y = sin sin , z = r cos . Параметрическая область H образует прямоугольник для u = , v = : 0 < < , 0 < < 2 . Вычисление параметров (8) дает: E = r², P = r² sin² , F = 0, = r² sin . Т.о. интеграл по сфере произвольного радиуса от произвольной функции f(x,y,z) имеет вид

(9)

Пр. Найти площадь сферы радиуса r.

Пр. Найти массу поверхности сферы, если плотность в точке равна: (а) расстоянию от точки до вертикали; (б) квадрату этого расстояния.

а) Плотность равна = r sin и

б) Плотность равна = (r sin )² и

Пр. Рассмотрим цилиндрическую поверхность x² + y² = a², 0 < z < h Параметрическое представление x = a cos , y = a sin , z = z

Область H для переменных u = , v = z является прямоугольником 0 < < 2 , 0 < z < h, = a.

Поверхностные интегралы 2 рода.

Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла. Входящий и выходящий потоки дают взаимоисключающий результат и поэтому их надо различать. Различать их можно по знаку cos , где -угол между нормальным вектором внешней стороны замкнутой поверхности и направляющим вектором потока. Для выходящего

потока - острый угол и cos >0, для входящего потока - тупой угол и cos <0. Для описания потоков используют специальные поверхностные интегралы, которые учитывают направление потоков через поверхность.

Определение.

Пусть дана гладкая двухсторонняя поверхность G - z = z(x,y). Её проекция на плоскость xOy занимает область D и ограничена замкнутым контуром L.

Выберем сторону поверхности G с нормальным вектором n и проведем на ней произвольный замкнутый контур. Обход контура можно совершить двумя способами против или по часовой стрелке при взгляде с конца n. Направление против часовой стрелки выбираем за положительное. Пусть на G определена функция f(x,y,z).

1) Сеткой линий разделим G на m участков G₁, G₂,...,G_m, которые имеют на плоскости хОу проекции D₁, D₂,... D_m. Нормальным вектором плоскости хОу служит ось Оz.

2) В каждом G_i выберем точку M_i, определим в ней значение функции f(M_i) и нормальный вектор n_i = { }, который пересекается с ось Oz под углом .

3)Составим интегральную сумму П(m) = (10)

Множитель означает, что вклады от разных участков берутся с разными знаками. Если при положительном обходе контура элемента G_i обход его проекции D_i также положителен, то знак (+), иначе (-). Совпадение направлений обхода означает, что угол между Oz и n острый и cos > 0 и выбранная поверхность является верхней. Из несовпадения следует - угол тупой, cos < 0. Появление членов с разными знаками происходит только при рассмотрении цилиндрических и замкнутых поверхностей. Считаем, что проекции G_i имеют форму прямоугольника D_i = .

Опр. Поверхностным интегралом 2-ого рода для функции f(x,y,z) по двухсторонней ориентированной поверхности G наз. конечный предел интегральной суммы, полученной путем разбиения G на малые участки и проектирования их на координатные плоскости.

J = = (11)

Символ dxdy показывает, что суммирование проводится по площади проекции элемента поверхности G на плоскость xOy. При замене выбранной стороны G на противоположную интеграл (11) меняет знак. Если проектировать элементы поверхности G на плоскости xOz, yOz, то получим аналогичные интегралы , и построим обобщенный поверхностный интеграл 2 рода с учетом трех различных функций

, (12)

который распространяется на определенную заранее сторону двухсторонней поверхности.

Вычисление интегралов.

Если G задана явным уравнением z = z(x,y) и точки (х,у) образуют замкнутую область D, где сама функция и ее производные , непрерывны, то все члены интегральной суммы (10) имеют одинаковый знак и вычисление интеграла (11) сводится к вычислению обычного двойного интеграла

J = = (13)

Необходимо только заранее определить острый или тупой угол с осью Oz образуют нормальные вектора n выбранной стороны поверхности. Если угол тупой, то у интеграла меняют знак. Если поверхность G замкнута, то она разделяется на несколько кусочно- ориентированных поверхностей. Границами раздела служат линии на которых направляющие косинусы равны 0.

Пр. Вычислить интеграл , где G – внешняя сторона куба, составленного плоскостями x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.

Решение: J = J₁(z=0) + J₂(y=0) + J₃(x=0) + J₄(z=1) + J₅(y=1) + J₆(x=1)

G₁: z = 0 dz = 0, n₁ Oz = > /2 (-), J₁ = (-)(0+0+ ) = 0 Аналогично J₂ = J₃ = 0. G₄: z = 1 dz = 0, n₄ Oz = 0 < /2 (+),

J₄ = (+)(0 + 0 + ) = 1 – площадь единичного квадрата.

Аналогично J₅ = J₆ = 1. Окончательно J = 3.

Поскольку площадь элемента поверхности dS связана с площадью его проекции на координатную плоскость простым соотношением

dS = dxdy = или dxdy = cos dS

то от поверхностного интеграла 2 рода легко перейти к поверхностному интегралу 1 рода

= (14)

Отличие между ними только в присутствии или отсутствии направляющего косинуса нормального вектора поверхности. Для обобщенного интеграла имеем

= = (15)

если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) понимать как координаты вектора = {P;Q;R}.

Применение поверхностных интегралов.

Так как поверхностные интегралы 1 и 2 рода сводятся к обычным двойным интегралам, то различные задачи, которые приводят к вычислению двойных интегралов, могут быть представлены через поверхностные интегралы. Рассмотрим несколько таких примеров.

а) Вычисление объема.

Пусть подынтегральная функция в (4) не зависит от z, тогда она определяет некоторую поверхность z = f(x,y), а интеграл по D объем цилиндрического бруса, ограниченного этой поверхностью и областью D. Переход к поверхностному интегралу в этом случае дает следующее выражение для объема цилиндрического бруса V = (16)

Обобщение этой формулы на случай тела произвольной формы ограниченного поверхностью G имеет вид V = 1/3 (17)

б) Формула Стокса.

Известно, что формула Грина сводит двойной интеграл по плоской области D к криволинейному интегралу по контуру L, ограничивающему область D

(18)

Эта формула легко обобщается на случай, когда вместо куска плоской поверхности D берется кусок произвольной гладкой двухсторонней поверхности G, ограниченной контуром L. Формула Стокса:

(19)

переходит в формулу Грина, если положить z = 0. Тогда dz = 0 и G D.

Из формулы Стокса легко получить условия при которых криволинейный интеграл по замкнутому контуру в пространстве обращается в ноль

; ;

в) Формула Остроградского – Гаусса.

Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего интеграла превращается в двойной интеграл, который можно выразить через поверхностный.

Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями: G₁ – низ,

z = z₀(x,y); G₂ – верх, z = Z(x,y); G₃ -цилиндрическая боковая поверхность по границе области D на плоскости хОу. В этом объеме V определена функция R(x,y,z), причем, функция и ее производные непрерывны. Рассмотрим интеграл

J = - = J₁ – J₂

По формуле (13) интеграл J₁ сводится к интегралу по внешней поверхности «верха» тела, а J₂ по внутренней поверхности «низа». При переходе на внешнюю сторону «низа» знак J₂ меняется. Учтем также, что аналогичный интеграл J₃ по боковой поверхности G₃ равен нулю, т.к. площадь ее проекции на плоскость хОу равна нулю. В итоге имеем

J = + +

где интегралы вычисляются по внешней стороне поверхности ограничивающей тело, или

(20)

Обобщение формулы (20) на случай тела произвольной формы приводит к формуле Остроградского – Гаусса

(21)

которая интеграл по объему заменяет на интеграл по внешней стороне поверхности ограничивающей тело.

Общий принцип интегрального исчисления: формулы Грина, Стокса, Остроградского – Гаусса, Ньютона – Лейбница позволяют интегралы по некоторой пространственной области заменить на интегралы взятые по границам этой области.

Формула Ньютона – Лейбница:

Устные экзаменационные вопросы

«Поверхностные интегралы»

1. Как записывается векторное уравнение произвольной линии в пространстве;
2. Направляющий вектор касательной к произвольной линии в пространстве;
3. Написать общее уравнение поверхности. Опр. гладкой поверхности.
4. Опр. касательной плоскости к поверхности, общая запись нормального вектора;
5. Написать координаты нормированного нормального вектора касательной плоскости гладкой поверхности;
6. Опр. двухсторонней поверхности;
7. Почему лист Мебиуса односторонняя поверхность;
8. Опр. площади криволинейной поверхности;
9. Написать формулу для вычисления площади криволинейной поверхности;
10. Написать интегральную сумму для задачи о массе поверхности;
11. Опр. поверхностного интеграла 1-ого рода;
12. Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 1-ого рода для гладкой поверхности;
13. Общий вид уравнения поверхности в параметрической форме;
14. Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 1-ого рода для поверхности заданной в параметрической форме;
15. Написать общий вид пов. ин – ла 1 рода по сфере от произвольной функции;
16. Написать интегральную сумму для пов. ин – ла 2 - ого рода, объяснить;
17. Опр. пов. ин – ла 2 - ого рода;
18. Общий вид пов. ин – ла 2 - ого рода;
19. Написать формулу для вычисления пов. ин – ла 2 - ого рода для гладкой пов - ти;
20. Написать формулу перехода от интегралов 1 – ого рода к интегралам 2 – ого рода;
21. Написать формулу для вычисления пов.ин - ла 2-ого рода для поверхности заданной в параметрической форме;
22. Написать формулу для вычисления объема тела через поверхностный интеграл;
23. Написать формулу Стокса, объяснить;
24. Написать формулу Остроградского – Гаусса для цилиндрического тела, объяснить;
25. Написать формулу Остроградского – Гаусса для тела произвольной формы;

Скалярное поле и его характеристики.

Рассмотрим функцию U(M), зависящую от координат точки М расположенной на плоскости (М D) или в пространстве (М ).

Опр. Скалярным полем (с.п.) наз. совокупность двух множеств: множества точек пространства M и множества чисел соответствующих этим точкам, которые определяются функцией U(M). Функция U(M) наз. функцией поля.

Пр. Распределение температуры в данном теле.

Если М D R², то поле наз. плоским, если М R³ - пространственнным. Поле наз. стационарным, если U(M) не зависит от времени. Точки поля с одинаковыми значенияи функции образуют линии уровня на плоскости U(M) = U(x,y) = C и поверхности уровня в пространстве U(M) = U(x,y,z) = C

Пр. U(x,y) = , D: x² + y² 1, x²+y² = 1 + C² – уравнение линии уровня.

Пр. U(x,y,z) = x² + y² – z, D = R³, x²+y² = z + C – уравнение поверхностей уровня, семейство параболоидов вращения вокруг Oz.

Производная по направлению с.п.

Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку M(x,y,z), через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором l = {cos , cos , cos }. Определим как будет меняться значение с.п. при перемещении вдоль L от M(x,y,z) к произвольной точке M₁(x,y,z).