Несобственные интегралы с особенностями в нескольких точках

Пусть (a, b) есть интервал, конечный или бесконечный, и на нем задана функция f такая, что интервал

(1)

имеет особенности только в точках a, b. Это значит, что a = - ∞ или, если a – конечная точка, то в ее окрестности функция f неограниченна; также b =+∞ или, если b – конечная точка, то в окрестности ее f неограниченна. Кроме того, функция f интегрируема на любом отрезке [ a’, b’ ], где a<a’<b’<b.

Произвольная точка с интервала (a, b) делит его на два частичных интервала (a, с) (с, b).

Интеграл

(2)

имеет единственную особенность (в точке а); интеграл

(3)

также имеет единственную особенность (в точке b). Для интервалов (2) и (3) мы уже знаем, в каком случае они существуют (сходятся) как несобственные интегралы.

По определению, несобственный интеграл (1) существует (сходится) в том и только в том случае, если каждый из интегралов (2) и (3) существует. При этом полагают

Это определение не зависит от с. В самом деле, если a< с< с’<b, то

(4)

где интеграл - собственный, и, аналогично,

(5)

Сложив (4) и (5) и сократив на получим