Частичные последовательности и частичные пределы

Определение 1 Последовательность , которая составлена из членов последовательности и в которой порядок следования её элементов совпадает с их порядком следования в исходной последовательности , называется подпоследовательностью этой последовательности.

Определение 2. Если частичная последовательность сходится, то её предел называется частичным пределом исходной последовательности

Теорема 1. Если последовательность имеет определённый предел a, то тот же предел имеет и частичная последовательность .

Определение 3. Число называется предельной точкой числовой последовательности , если любая её окрестность содержит бесконечное число членов последовательности.

Частичный предел последовательности является одновременно и её предельной точкой.

Определение 4. Наибольший (наименьший) частичный предел числовой последовательности называется её верхним (нижним) пределом и обозначается символом

.

Теорема 2. Любая числовая последовательность имеет верхний и нижний пределы.

Лемма Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности всегда можно извлечь такую частичную последовательность , которая сходилась бы к конечному пределу.