Предел последовательности. Подпоследовательности и частичные пределы

Определение 1. Пусть X – какое-либо множество и N – множество натуральных чисел. Всякое отображение называется последовательностью элементов множества X. Элемент обозначается через и называется n-м членом последовательности , а сама эта последовательность обозначается через или , n=1,2,….

Примеры. , .

Определение 2. Постоянное число называется пределом последовательности , если для каждого положительного числа , сколь бы мало оно ни было, существует такой номер , что все значения , у которых номер , удовлетворяют неравенству

. (1)

Тот факт, что является пределом последовательности, записывают так: .

Неравенство (1) равносильно следующим:

(2)

Если изобразить числа и значения последовательности точками на числовой оси, то получится наглядное геометрическое истолкование предела последовательности. Какой бы малый отрезок (длины ) с центром в точке ни взять, все точки , начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек).

Некоторые последовательности, стремящиеся к пределу. Следующие шесть последовательностей имеют предел, равный числу 0. Ниже мы докажем это.

: 0,0,0,0,0,0,0,…

:

:

:

:

:

запишем 8 первых элементов каждой из последовательностей.