По формуле

вычислим вероятности p_i (i = 1, 2, …, 6) того, случайная величина Х содержится в интервале , а затем из соотношения найдем соответствующую теоретическую частоту случайной величиной X в этом интервале:

Отсюда , следовательно, (произведения округляем до целых чисел).

Этим же способом находим и остальные теоретические частоты случайной величиной X:

Для вычисления составим расчетную таблицу 3, при этом малочисленные эмпирические и соответствующие им теоретические частоты первых двух и последних двух групп табл. 2 соединим в две самостоятельные группы.

Таблица 3

		– 4 – 1		0,4 0,6 ≈ 0,11
Сумма 50		2,11

Следовательно, . По таблице вероятностей для критерия , по уровню значимости α = 0,01 и числу степеней свободы (s = 4 – число интервалов) находим вероятность , так как при и k = 1 вероятность равна 0,0833, а при и при том же k = 1 вероятность β будет больше, чем 0,0833.

Таким образом, если уровень значимости α = 0,01, то полученная вероятность β больше, чем α.

Итак, гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х следует принять.

г) Интервальной оценкой (с уровнем доверия γ) математического ожидания m нормально распределенной случайной величины Х служит доверительный интервал

(*)

где – точность оценки, t – значение аргумента функция Лапласа Φ(t), при котором Φ(t) = 0,5∙γ.

Все величины, кроме t, известны. Определим t из соотношения Φ(t) = 0,5∙0,99 =0,495. По таблице значений функции Лапласа находим t = 2,58. Подставив в (*), получим доверительный интервал .

Интервальной оценкой (с уровнем доверия γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределенной случайной величины Х служит доверительный интервал

,

где q находят по таблице при заданных n и γ.

По данным и n = 50 по таблице определим q = 0,3. Следовательно, доверительный интервал .

Известны – результаты независимых наблюдений над случайной величиной X.

1) Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала или воспользовавшись заданной длиной интервала.

2) Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.

3) Найти несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

4) По критерию (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

5) Найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины Х с уровнем доверия .

7.1.

4,7	7,2	6,2	6,7	7,2	5,7	7,7	8,2	6,2	7,2	5,7
6,2	5,7	8,2	5,7	6,2	5,7	6,2	6,7	5,2	7,7	6,2
7,2	6,7	7,7	6,2	7,2	6,2	6,2	5,7	6,2	6,7	7,2
5,7	6,7	7,7	6,2	4,7	8,7	4,2	4,7	8,7	6,2	6,7

7.2.

7.3. длина интервала равна 2.

7.4.

7.5. длина интервала равна 7.

7.6. длина интервала равна 5.

7.7. длина интервала равна 0,03.

1,03	1,06	1,09	1,12	1,01	1,06	1,05	1,10	1,09
1,13	1,20	1,04	1,08	1,10	1,15	1,11	1,02	1,04
1,07	1,11	1,14	1,05	1,07	1,10	1,13	1,14	1,08
1,06	1,08	1,09	1,13	1,12	1,16	1,09	1,17	1,10
1,15	1,11	1,13	1,10	1,14	1,19	1,21	1,11	1,18
1,23	1,10	1,19	1,03

7.8.

7.9. длина интервала равна 4.

7.10. длина интервала равна 8.

7.11. длина интервала равна 0,05.

0,90	0,79	0,84	0,86	0,88	0,90	0,92	0,89	0,85
0,91	0,98	0,91	0,80	0,87	0,89	0,88	0,78	0,84
0,81	0,85	0,88	0,94	0,86	0,80	0,86	0,91	0,78
0,86	0,91	0,95	0,97	0,88	0,79	0,82	0,84	0,90
0,82	0,87	0,91	0,90	0,96	0,98	0,89	0,87	0,99
0,85

7.12. длина интервала равна 0,04.

0,90	0,88	0,79	0,89	0,93	0,96	0,98	0,96	0,90
0,92	0,93	0,91	0,86	0,92	0,91	0,94	0,90	0,88
0,90	0,93	0,95	0,99	0,91	0,84	1,00	0,83	0,93
0,95	0,96	0,91	0,89	0,97	0,90	0,93	0,95	1,00
0,83	0,85	0,87	0,90	0,92	0,88	0,97	0,91	0,92
0,89	0,99	0,90	0,94

7.13.

7.14.

7.15.

7.16.

7.17. длина интервала равна 0,2.

19,1	18,1	18,4	18,2	18,6	18,9	19,0	18,7	18,9
19,2	18,4	19,3	18,5	18,3	18,7	18,8	19,1	19,4
19,7	19,1	18,9	19,3	18,4	19,2	18,2	18,7	19,5
19,3	18,5	18,6	18,8	19,1	18,7	19,1	19,6	18,6
18,8	19,1	19,0	19,5	19,3	18,8	19,0	19,5	18,9
19,0	19,8	19,8	19,9

7.18. длина интервала равна 0,2.

19,5	19,5	19,6	19,8	20,2	20,2	20,4	19,6
19,9	19,9	20,0	20,3	20,2	19,6	20,1	20,3	20,5
20,4	19,8	19,7	19,8	20,0	20,1	19,7	20,3	20,2
20,1	24,4	20,5	20,3	20,5	20,2	20,5	20,7	21,0
21,1

7.19. длина интервала равна 2.

7.20.

7.21. длина интервала равна 6.

7.22. длина интервала равна 5.

27.5	32.5	36.0	36.5	37.5	33.5	22.5	28.5	33.0
36.5	35.0	35.5	33.0	38.5	42.5	37.0	39.0	48.0
34.5	39.6	43.5	41.5	44.0	42.0	44.5	42.0	45.0
41.5	45.5	46.0	37.5	38.0	46.5	38.5	47.0	20.0
29.0	34.0	46.5	23.5	28.0	34.5	33.5	36.0	40.0
44.0	35.5	39.0	26.5	52.5

7.23. длина интервала равна 5.

38,5	47,0	42,5	30,0	35,0	33,0	36,5	42,0	41,0
43,0	41,5	34,0	39,5	45,0	47,5	51,0	37,0	41,0
43,5	48,0	37,5	33,5	38,0	40,5	44,5	49,0	40,0
46,0	50,0	45,0	61,0	40,0	51,5	39,0	55,0	39,5
46,5	56,0	39,0	46,0	57,0	47,0	22,0	37,5	45,0
52,0	59,0	56,0	38,0	40,0

7.24. длина интервала равна 0,3.

61,2	61,4	60,4	61,2	61,3	60,4	61,4	60,3	61,2
60,6	61,6	60,2	61,2	60,3	60,7	60,9	61,2	60,5
61,0	61,4	61,1	60,9	61,5	61,4	60,6	61,2	60,1
61,3	61,1	61,3	60,3	61,3	60,6	61,7	60,6	61,2
60,5	60,8	61,3	61,0	61,2	61,4	60,7	61,3	60,9
61,2	61,1	61,3	60,9	61,4

7.25. длина интервала равна 0,3.

60,7	61,2	60,8	60,3	61,1	61,0	61,5	61,3	61,9
61,4	61,6	61,0	61,7	61,1	60,9	61,5	61,6	61,4
61,5	61,2	61,6	61,3	61,8	61,1	61,7	60,9	62,2
61,1	62,2	61,0	61,5	61,7	62,3	62,3	61,7	62,3
62,5	62,8	62,6	61,5	62,1	62,6	61,6	62,5	62,4
62,3	62,1	62,3	62,2	62,1

Методические указания к самостоятельной работе студентов по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» дисциплины «Математика» для студентов инженерных специальностей очной и заочной форм обучения

Составители: Кучумов Р.Я., профессор, д.т.н.

Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н.

Мусакаева М.Ф., ассистент

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38