Для нахождения F(х) воспользуемся формулой

Если , то , следовательно,

Если , то

Если , то

Итак, искомая функция распределения

Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой . Поскольку все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу и на этом интервале , то

Найдем дисперсию из формулы

Тогда

В задачах 5.1 – 5.13 случайная величина X задана функцией распределения F (х). Найти:

1) плотность распределения вероятностей f  (x);

2) математическое ожидание;

3) построить графики функций f  (x), F (х).

5.1. 5.2.

5.3. 5.4.

5.5. 5.6.

5.7. 5.8.

5.9. 5.10.

5.11. 5.12.

5.13.

В задачах 5.14 – 5.25 задана плотность распределения f  (x) случайной величины x. Найти:

1) значение постоянного параметра данного распределения;

2) функцию распределения F (x);

3) математическое ожидание и дисперсию;

4) вероятность попадания в заданный интервал (a, b).

5.14.

5.15

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

ЗАДАНИЕ 6

Пример: Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X c математическим ожиданием m = 3 и средним квадратическим отклонением s = 2, примет значение в интервале (–1, 5).

Решение: Воспользуемся формулой для расчета вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал :

где – функция Лапласа.

По условию, Тогда

В задачах 6.1 – 6.25 требуется найти вероятность попадания в заданный интервал нормально распределённой случайной величины, если известны её математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение s.

6.1.	a = 1	b = 5	m = 2	s = 2
6.2.	a = 2	b = 6	m = 3	s = 2
6.3.	a = 3	b = 7	m = 4	s = 3
6.4.	a = 4	b = 8	m = 5	s = 3
6.5.	a = 5	b = 9	m = 6	s = 3
6.6.	a = 1	b = 5	m = 4	s = 1
6.7.	a = 2	b = 6	m = 4	s = 2
6.8.	a = 3	b = 7	m = 4	s = 2
6.9.	a = 4	b = 8	m = 5	s = 3
6.10.	a = 5	b = 9	m = 6	s = 3
6.11.	a = 6	b = 10	m = 8	s = 2
6.12.	a = 4	b = 10	m = 6	s = 3
6.13.	a = 8	b = 12	m = 10	s = 1
6.14.	a = 4	b = 8	m = 5	s = 2
6.15.	a = 1	b = 8	m = 4	s = 3
6.16.	a = 2	b = 6	m = 5	s = 2
6.17.	a = 3	b = 9	m = 5	s = 2
6.18.	a = 4	b = 9	m = 6	s = 4
6.19.	a = 2	b = 7	m = 4	s = 3
6.20.	a = 5	b = 9	m = 8	s = 1
6.21.	a = 6	b = 12	m = 10	s = 2
6.22.	a = 2	b = 8	m = 6	s = 3
6.23.	a = 1	b = 4	m = 3	s = 2
6.24.	a = 3	b = 7	m = 5	s = 1
6.25.	a = 6	b = 12	m = 8	s = 4

ЗАДАНИЕ 7

Пример: Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

3,86	4,04	3,65	3,97	3,76	3,61	3,95	4,04	3,84	3,94
3,98	3,61	3,87	4,04	3,99	3,69	3,76	3,71	3,94	3,82
4,16	3,76	4,00	3,45	4,08	3,88	4,01	3,93	3,71	3,81
4,02	4,17	3,72	4,09	3,78	4,02	3,73	3,52	3,89	3,92
4,18	4,26	4,03	4,14	3,72	4,35	3,82	4,03	3,62	3,91

а) Построить по этим данным интервальный вариационный ряд и изобразить его графически, найти эмпирическую функцию распределения.

б) Определить несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.

в) По критерию χ² (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.

г) Найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины Х с уровнем доверия γ=0,99.

Решение: а) Для построения вариационного ряда составим таблицу 2, в первом столбце которой расположим в порядке возрастания частичные интервалы равной длины (первый интервал 3,45–3,60, второй 3,60–3,75 и т.д.), а во втором напишем найденные путем подсчета соответствующие частоты для каждого интервала:

Таблица 2

Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала, ni	Частичный интервал	Сумма частот вариант частичного интервала, ni
3,45–3,60 3,60–3,75 3,75–3,90 3,90–4,05		4,05–4,20 4,20–4,35
Сумма

Графически данный ряд можно изобразить в виде гистограммы частот (рис. 1).

Найдем эмпирическую функцию распределения. Объем выборки n = 50. Наименьшая варианта равна 3,45, поэтому при .

Значение случайной величиной X, меньшее 3,60, наблюдалось два раза, следовательно, при .

Значение X, меньшее 3,75, наблюдалось 2+10=12 раз; следовательно, при .

Для значений X, меньших 3,90; 4,05; 4,20 и 4,35, функция F (x) находится аналогично.

Поскольку значение X, равное 4,35 – наибольшая варианта, то при .

Напишем искомую эмпирическую функцию распределения:

б) Несмещенную оценку для математического ожидания (среднего арифметического взвешенного) найдем по формуле

где k – количество вариант.

При вычислении математического ожидания и дисперсии случайной величины Х в качестве вариант будем принимать середины интервалов. Тогда

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой

Тогда

Следовательно,

Несмещенной оценкой для дисперсии служит исправленная дисперсия:

в) Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону

где и .