Формальная запись динамической модели

Обозначения:

– набор входных воздействий (входов) в системе – х, вся их допустимая совокупность Х, ;

– набор выходных воздействий (выходов) в системе – y, вся их возможная совокупность Y, ;

– набор параметров, характеризующих свойства системы, постоянные во всё время рассмотрения, и влияющих на выходные воздействия системы, – а, вся их допустимая совокупность А, ;

– набор параметров, характеризующих свойства системы, изменяющиеся во время ее рассмотрения (параметры состояния) – z, вся их допустимая совокупность – Z, ;

– параметр (или параметры) процесса в системе – t, вся их допустимая совокупность – T, ;

– правило (функция, оператор) определения параметров состояния системы по входам х, постоянным параметрам а и параметру процесса t. Будем различать величины и правило их определения. Запись означает нахождение параметров по этому правилу;

– правило (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам х, постоянным параметрам а, параметру процесса t и параметрам состояния z, т.е. ;

– правило (функция, оператор) определения выходных характеристик системы по входам х, известным постоянным параметрам а и параметру процесса t. Это правило может быть получено подстановкой правила в правило , что дает исключение из него параметров состояния:

.

Тогда модель может быть записана так:

Поясним это определение на ряде примеров.

Пример 1

Рассмотрим упрощенную схему работы дизельного двигателя. Имеем:

– входы (внешние воздействия): своевременная подача в камеру сгорания газовой смеси определенного состава; внешний момент (нагрузка) в точке вывода мощности;

– выход: мощность двигателя;

– неизменяемые параметры системы: объем камеры сгорания, число и расположение цилиндров, степень сжатия; размеры, массы и жесткость поршней, шатунов, коленвала, маховика и других частей силового механизма;

– параметр процесса: время или угол поворота коленвала;

– параметры состояния: температура и давление в камере сгорания, скорости (ускорения) движущихся частей, силы трения в двигателе;

– правило (уравнение состояния): термодинамические уравнения, описывающие процесс сгорания газовой смеси, и механические уравнения, описывающие движение частей силового механизма;

– правило : запись мощности двигателя в виде функции от скоростей движения частей силового механизма и внешнего момента; она равна произведению угловой скорости коленвала и внешнего момента;

– правило : запись мощности двигателя в виде функции от скорости подачи газовой смеси, ее состава и внешнего момента (нагрузки).

Пример 2

Математический пример.

В качестве модели рассмотрим систему дифференциальных уравнений, решаемую для различных начальных условий и различных правых частей.

Имеем:

– входы: начальные условия, вектор правых частей f(t), значение , до которого необходимо интегрировать систему;

– выход: значение ;

– неизменные параметры системы: матрица А;

– параметры состояния: вектор у;

– параметр процесса – t;

– правило : решение дифференциального уравнения в зависимости от начальных условий, констант, правых частей и аргумента:

;

– правило : подстановка в решение дифференциального уравнения значения

: ;

– правило: зависимость

Пример 3

Информационный пример.

Рассмотрим модель длительности переработки человеком текста в резюме.

Имеем:

– входы: объем текста, численная оценка его сложности;

– выход: длительность составления резюме;

– неизменяемые параметры будут соответствовать способностям данного человека: скорость осмысления чтения текста и число повторных чтений в зависимости от его сложности, осредненное число переделок резюме;

– параметры процесса определяют объем проделанной работы на заданный момент времени: объем изученного текста, объем составленной части резюме, оставшееся число переделок резюме;

– параметр процесса: стадия работы или время;

– правило : зависимость объема проделанной работы от объема и сложности текста, способностей человека и времени;

– правило : зависимость величины от объема проделанной работы;

– правило : зависимость величины от объема текста, от сложности и способностей данного человека.

Сделаем ряд замечаний.

I. Число составляющих в формальной записи модели может быть как больше, так и меньше. Другими составляющими в определении модели могут быть случайные входные воздействия (представляющие собой часть входов х), характеристик элементов (выделенные из параметров а); некоторые свободные параметры модели, всё множество значений которых должно быть учтено при расчете выходов (например, операциями взятия максимума, интегрированием); управления, введенные для целенаправленных систем.

II. При незначительных изменениях постановки задачи ряд величин могут перейти из одной составляющей в другую. Так, некоторую маломеняющуюся величину в системе можно отнести и к параметрам а (сделав условно постоянной), и к параметрам состояния. В ряде случаев могут возникать трудности с отнесением данной величины к параметрам состояния или выходным воздействиям.