Соленоидальные векторные поля

Определение 6. Векторное поле называется соленоидальным вобласти , если оно дифференцируемо в каждой точке области и .

Данное равенство означает, что соленоидальное поле свободно от источников и стоков. Рассмотрим свойства соленоидальных полей.

Теорема 9. Поток соленоидального в односвязной области векторного поля через замкнутую поверхность равен нулю.

‰ Согласно теореме Остроградского-Гаусса имеем:

. <

Замечание. Для многосвязной области теорема не выполняется.

Теорема 10. Пусть соленоидальное поле в области V. Тогда поток вектора через любую поверхность , натянутую на заданный контур , не зависит от вида поверхности, а зависит только от контура .

‰ Натянем на две поверхности и (рис.14). Тогда между ними есть область , для которой применим формулу Остроградского-Гаусса

,

т.к. .

Таким образом, получаем

. <

Теорема 11. Поток соленоидального векторного поля через любое сечение векторной трубки имеет одно и то же значение.

‰ Векторная трубка представляет собой поверхность, образованную из векторных линий поля (рис. 15).

Выберем два произвольных сечения векторной трубки и и получим поверхность, состоящую из и и - поверхность трубки между и . Тогда поток векторного поля через такую поверхность равен

.

Отсюда получаем

,

,

. <

Остановимся еще раз нафизическом смысле теоремы: если - поле скоростей частиц жидкости, которое не имеет источников и стоков, то количество жидкости, протекающее за единицу времени через сечение векторной трубки одно и то же для любых сечений.

Теорема 12. У соленоидального векторного поля векторные линии не могут ни начинаться, ни кончаться внутри поля. Они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля, либо имеют бесконечные ветви.

‰ Пусть векторные линии заканчиваются в точке . Следовательно, некоторая векторная трубка заканчивается в точке . Но интенсивность трубки всюду постоянна, поэтому в точке поток должен быть бесконечно большим, что невозможно, т.к. непрерывен в каждой точке. Если предположить, что векторная трубка кончается в области конечным сечением, то в точках сечения поле будет разрывным, что неверно по определению трубки. <

Определение 7. Векторное поле называется векторным потенциалом векторного поля , если поле в области представляется как ротор поля ,т.е. для произвольной точки имеет место равенство .

Векторный потенциал определяется с точностью до градиента произвольного скалярного поля . Действительно, пусть , а - произвольное скалярное поле, тогда

.

Теорема 13. (необходимое и достаточное условие соленоидальности). Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы оно имело векторный потенциал.

‰ Достаточность. Пусть имеет векторный потенциал т.е. , тогда . Записывая эту формулу в координатах, получим, что .

Для доказательства необходимости надо доказать разрешимость системы

при условии , что выходит за рамки курса. <

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятия скалярного и векторного полей. Приведите примеры.

2. Что называется векторной линией поля? Какими уравнениями описывается векторные линии?

3. Как вычисляется работа векторного поля? Что называется циркуляцией?

4. Какое векторное поле называется потенциальным? Что такое потенциал?

5. Когда работа не зависит от пути, соединяющего две точки? Как найти потенциал?

6. Что называется ротором векторного поля? Что характеризует ротор?

7. Сормулируйте теорему о вычислении ротора в декартовой системе координат.

8. Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром?

9. Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых эта формула верна.

10. Что означает утверждение: криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования?

11. Что означает утверждение: выражение является полным дифференциалом в области ?

12. Что называется потоком векторного поля? Как вычисляется поток?

13. Дайте определение дивергенции векторного поля. Каков физический смысл дивергенции?

14. Какое векторное поле называется безвихревым? Приведите примеры безвихревых полей.

15. Какое векторное поле называется соленоидальным? Приведите примеры соленоидальных полей.

16. Что такое скалярный потенциал; векторный потенциал?

17. Что такое оператор Гамильтона? Запишите с помощью оператора Гамильтона: а) градиент скалярного поля; б) дивергенцию векторного поля; в) ротор векторного поля.