Скалярные и векторные поля

ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА

Скалярные и векторные поля

Пусть и – функция нескольких переменных заданная в области , т.е. задано отображение . Каждой точке поставлено в соответствие действительное число . В этом случае также говорят, что в области X задано скалярное поле.

Далее будем рассматривать пространства (плоскость) и (трехмерное евклидово пространство). Тогда соответственно скалярное поле задаётся функцией на плоскости и в пространстве.

В качестве примеров физических скалярных полей можно рассматривать: поле температуры, поле освещённости, поле плотности электрических зарядов, поле плотности масс и т.д.

Скалярные поля и называются также стационарными полями.

Если или , где , тогда говорят, что скалярное поле нестационарное.

Скалярное поле имеет геометрическое изображение. Поверхностьюуровня скалярного поля называют геометрическое место точек , в которых поле имеет постоянное значение С, т.е. поверхность уровня задается уравнением .

Рис.1

Поверхности уровня, отвечающие различным значениям С, заполняют всю область, в которой определено поле, причём никакие две поверхности и () не имеют общих точек. Взаимное расположение поверхностей уровня даёт представление о скалярном поле. Места сближения поверхностей уровня соответствуют быстрому изменению поля. Если скалярное поле определено в области , то вместо поверхностей уровня рассматривают линии уровня (рис. 1)

С помощью линий уровня изображают распределения температуры (изотермы), давления (изобары), рельеф местности на карте (горизонтали).

Ранее было определено векторное поле, задаваемое на множестве векторной функцией нескольких переменных (или векторного аргумента) как отображение: . Как и в случае скалярного поля, здесь будем рассматривать векторную функцию , определенную в и векторную функцию , определенную в .^. Тогда

,

.

Примеры векторных полей: электрическое поле , магнитное поле , поле скорости движения жидкости , поле гравитации . Так, если в начале координат поместить массу , то эта масса создаст поле сил тяготения и на каждую массу в точке действует сила равная (по закону Ньютона) по величине и направлена к точке начала координат:

; ; ,

тогда

.

Рис.2

Пусть векторное поле заданное в некоторой области пространства. Геометрической характеристикой векторного поля являются векторные (силовые) линии. Векторной или силовой линией поля называется кривая, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рис.2), т.е. Например, в поле скорости стационарного потока жидкости векторными линиями являются траектории движения частиц жидкости.

Как и всякая кривая, векторная линия может быть охарактеризована своим уравнением , которое зависит от выбора системы координат. Выведем уравнение векторных линий в декартовой системе координат. Пусть задано векторное поле . Вектор направлен по касательной к линии (рис.3) По определению, вектор направлен по касательной к линии и коллинеарен векторному полю .

Условие коллинеарности задает дифференциальное уравнение векторных линий в декартовой системе координат:

(1)

Рис.3

Для определения векторных линий необходимо решить систему дифференциальных уравнений (1). Будем считать, что функции , , непрерывны и обладают непрерывными частными производными. Из теоремы существования и единственности решения системы дифференциальных уравнений известно, что если вектор в точке отличен от 0, то через эту точку проходит единственная векторная линия, являющаяся решением (1). Если , то все знаменатели в (1) равны нулю и через точку М проходят либо бесконечное множество кривых, либо ни одной.

Пример 1. Определить векторные линии напряжённости магнитного поля, образованного электрическим током, текущим с силой по бесконечно длинному прямолинейному проводу.

Рис.4

Решение. Найдём вектор , определяющий напряжённость магнитного поля. Ось Oz направим по проводу (рис. 4). Пусть ток течёт в положительном направлении оси O z. Элемент провода по закону Био-Савара создаёт в точке напряжённость , где ; . Отсюда , где точка – точка элемента провода . Интегрируя вдоль оси Oz найдём векторное поле – напряжённость магнитного поля в произвольной точке М:

.

Если , тогда .

.

Тогда . Замена s - z = преобразует полученный интеграл следующим образом

.

Система дифференциальных уравнений имеет вид:

.

.

.

Из последнего выражения получаем .

Постоянные R и C определяются из условия прохождения векторной линии через определённую точку . Через любую точку, не лежащую на оси Oz, проходит единственная векторная линия, представляющая собой окружность, лежащую в плоскости, параллельной плоскости Oxy.