Периодические функции

Многие явления в природе и технике являются повторяющимися во времени (периодичными)процессами. Например, движение стрелок часов, планет, приливы, электромагнитные волны и др.Изучение указанных явлений приводит нас к периодическим функциям.

Функция определенная на множестве Х, называется периодической с периодом T>0, если выполняются условия:

1) если то и ;

2)

График периодической функции изображен на рисунке. Легко показать, что, если T>0 есть период заданной функции, то всякое число вида kT, где k – целое число, также является периодом этой функции. Действительно,=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x), так как , и т.д. Аналогично: f(x-T)=f((x-T)+T)=f(x), так как , и т.д. Наименьший положительный период функции f называется ее основным периодом. Для постоянной функции любое число является периодом. Однако, она не имеет основного периода, так как во множестве действительных положительнвых чисел нет наименьшего числа.

Для построения графика периодической функции достаточно построить его на любом отрезке длины Т.

Выполняя параллельный перенос графика на Т единиц влево и вправо вдоль оси ОХ, получим весь график функции. Так функции являются периодическими с периодом равным , а функции -периодическими с периодом равным .

Периодические функции обладают следующими свойствами:

1. Если Т – период функции f(x), то функция имеет период равный .

Действительно,

.

Так, функция имеет период равный , т.к. функция имеет период , а .

2. Если периоды соответственно функций соизмеримы, то сумма (разность), произведение этих функций являются периодическими функциями.

В самом деле,пусть отрезки длины соизмеримы, т.е. , где m и n – натуральные числа. Тогда . Рассмотрим функцию и докажем, что она является периодической с периодом . Имеем: Свойство 2 доказывается таким же способом для разности и произведения функций.

Найдем период функции у=Sin 2x+Cos 3x. Период функции Sin 2x равен , а функции Cos 3x равен по свойству 1.Далее, т.е. Следовательно, периодом данной функции будет число Т=2p. Функция у= Sin x+Cos 3x не является периодической,так как отношшение периода первой функции к периоду второй не является рациональным числом, так как иррациональное число.