Точные границы множества могут принадлежать множеству и могут не принадлежать ему

Так, точная верхняя граница sup{-1, -2, -3,...} принадлежит этому множеству. не принадлежит множеству , не принадлежит ему, принадлежит этому множеству.

Считают, что , если множество Х не ограничено сверху, , если множество Х не ограничено снизу. Значит, . Полагают, что inf Æ , sup Æ .

Из сказанного выше вытекает, что всякое числовое множество имеет точную нижнюю границу (конечную или бесконечную) и точную верхнюю границу (конечную или бесконечную ).

Пусть М – наибольший элемент числового множества Х, т.е. . Тогда (докажите!). Если же m – наименьший элемент числового множества Х, т.е. , то (докажите!).

Заметим,что множество может не иметь ни наибольшего,ни наименьшего элемента,но иметь точные границы. Например, . Однако, множество (0,1) не имеет ни наименьшего,ни наибольшего элемента (докажите!).

Вопросы и задания для самопроверки.

1. Какое множество называется ограниченным сверху (снизу), ограниченным?

2. Ограничено ли пустое множество?

3. Всегда ли объединение двух ограниченных множеств есть ограниченное множество?

4. Всегда ли пересечение двух ограниченных множеств есть ограниченное множество?

5. Что такое верхняя (нижняя) граница множества?