Схема построения доверительных интервалов

Методика построения доверительных интервалов для параметра q распределения вероятностей:

1) из генеральной совокупности значений случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x, q), извлекается выборка объема n;

2) по результатам выборки находится точечная оценка параметра q распределения вероятностей;

3) составляется вспомогательная случайная величина , закон распределения вероятностей которой известен;

4) задается доверительная вероятность ;

5) используя плотность распределения вероятностей случайной величины Z, находят такие два числа Z ₁ и Z ₂ (рисунок 1), что

; (1)

; ;

6) как только Z ₁ и Z ₂ найдены, двойное неравенство решается относительно q и получается искомый интервал .

Рисунок 1 – Двусторонняя критическая область статистического критерия

3 Доверительные интервалы для математического ожидания
и дисперсии случайной величины,
имеющей нормальное распределение

Пусть вероятностный эксперимент описывается случайной величиной X и известно, что X подчиняется нормальному закону распределения вероятностей

, ,

где – среднее квадратическое отклонение случайной величины X, причем значения a и нам неизвестны;

a – математическое ожидание.

Построим доверительный интервал для неизвестного значения a математического ожидания. Воспользуемся алгоритмом, изложенным в пункте 2:

1) извлечем выборку объема n из генеральной совокупности;

2) по выборке найдем точечные оценки параметров a и :

, ;

3) составим случайную величину

. (2)

Доказано, что случайная величина t имеет распределение Стьюдента с степенями свободы;

4) зададим доверительную вероятность ;

5) найдем t ₁ и t ₂ такие, что

, (3)

где – плотность распределения Стьюдента, график которой изображен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Плотность распределения Стьюдента

Поскольку кривая плотности распределения Стьюдента симметрична относительно вертикальной оси, мы можем выражение (3) записать так

,

пользуясь таблицей значений t -распределения (приложение Б), найдем значение ;

6) полагая известными значения и , запишем из (3) выражение в скобках

(подставим выражение для t из (2)) =

.

Решим двойное неравенство относительно a:

. (4)

Таким образом, мы построили доверительный интервал (4) для параметра a.

Для построения интервальной оценки неизвестной дисперсии воспользуемся тем, что случайная величина подчинена -распределению с (n – 1) степенями свободы. Поэтому

, (5)

где – – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы;

– – процентная точка -распределения с (n – 1) степенями свободы (приложение В). Разрешая неравенство (5) относительно , получим случайный доверительный интервал для неизвестного параметра

. (6)

Соответственно доверительный интервал для среднего квадратического отклонения имеет вид

, (7)

и таким образом мы построили доверительный интервал для параметра .

Замечание – Если случайная величина X имеет произвольную функцию распределения , по формулам (4) и (7) можно строить приближенные доверительные интервалы соответственно для математического ожидания и среднего квадратического отклонения, если объем выборки достаточно велик, .

Пример 1 Из многочисленного коллектива работников фирмы случайным образом отобрано n = 25 работников. Средняя заработная плата этих работников составила д.е. при выборочном среднеквадратическом отклонении д.е. Требуется с доверительной вероятностью определить интервальную оценку:

а) для средней месячной заработной платы на фирме;

б) суммы затрат фирмы на заработную плату отдела, состоящего из 520 сотрудников.

Решение. 1) Среднемесячная заработная плата на фирме характеризуется генеральной средней a. Требуется найти интервальную оценку параметра a с доверительной вероятностью . Согласно (4) имеем

,

где – -процентная точка -распределения (распределения Стьюдента). По таблице (см. приложение Б) распределения Стьюдента находим . Поэтому

.

Таким образом, с вероятностью можно гарантировать, что средняя заработная плата на фирме находится в пределах: .

2) Средняя сумма затрат фирмы на заработную плату отдела из N сотрудников составит д.е. Следовательно, с вероятностью можно утверждать, что затраты фирмы на заработную плату отдела не выйдут за пределы интервала:

,

.

Пример 2 При анализе точности фасовочного автомата было проведено n = 24 контрольных взвешиваний пятисотграммовых пачек кофе. По результатам измерений рассчитано выборочное среднее квадратическое отклонение г. Требуется с доверительной вероятностью оценить точность фасовочного автомата, то есть определить интервальную оценку s.

Решение. Согласно (6) интервальная оценка дисперсии

.

По таблице процентных точек -распределения (см. приложение В) найдем

;

.

Следовательно,

.

Значит с доверительной вероятностью можно утверждать, что истинное значение среднего квадратического отклонения s будет находиться в интервале

Предположив, что ошибка фасовочного автомата есть нормально распределенная случайная величина с нулевой средней и среднеквадратическим отклонением s, можно с вероятностью 0,954 утверждать, что вес пачек кофе будет в пределах

.