Раздел 6. Ряды

Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1. Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Примеры: гармонический ряд, геометрический ряд.
2. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда. Достаточные признаки сходимости ряда (три признака сравнения, признаки Коши, Даламбера).
3. Знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Достаточный признак сходимости ряда. Абсолютная и условная сходимость (определения, свойства, примеры).
4. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши, признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.
5. Степенные ряды. Область сходимости, радиус сходимости, свойства степенных рядов. Ряд Тейлора.
6. Применение рядов к приближенным вычислениям (приближенное вычисление функции, интеграла, решение дифференциальных уравнений: способ последовательного дифференцирования, способ сравнения коэффициентов).

Задания для аудиторной самостоятельной работы

1.Исследовать на сходимость ряды с помощью признаков сравнения и необходимого признака сходимости:

1. .

Указание: сравнить с V_n = (сходящийся).

2. .

Указание: сравнить с V_n = (сходящийся).

3. .

Указание: сравнить с V_n = (сходящийся).

4. .

Указание: .

5. .

Указание: .

6. .

Указание: U_n = =V_n (расходящийся).

2. Определить сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

1). ; 2). ;

3). ;4). .

3. Определить сходимость рядов, применяя признак Коши:

1). . Указание: .

2). . Указание: .

4. Установить сходимость рядов, применяя признак Коши:

1). . Указание: .

5. Исследовать знакопеременный ряд на условную и абсолютную сходимость:

1). ; 2). ; 3) ;

4). ; 5). ; 6). ;

7). ; 8). .

6. Найдите радиус сходимости и область сходимости степенного ряда:

1). ; 2). ; 3). ;

4). ; 5). ; 6). ;

7). ; 8). ; 9). .

7.Написать ряд Маклорена для функции .

8. Разложить в ряд Маклорена f (x)=2 ^x.

Индивидуальное домашнее задание

Задание 1. Исследовать сходимость ряда.

№	Ряд	№	Ряд	№	Ряд

Задание 2. Найти промежуток сходимости степенного ряда.