Метод вузлових напруг

В основу метода вузлових напруг покладено перший закон Кірхгофа. При цьому струми у вітках отримують через потенціали вузлів, які вони з'єднують.

Спочатку визначають потенціали вузлів відносно базисного вузла, який обирають довільним чином, а його потенціал прирівнюють до нуля. Потенціали вузлів називають вузловими. Додатні напрями вузлових напруг завжди обирають до базисного вузла.

Суть і алгоритм даного метода розглянемо не прикладах.

Приклад 9. Методом вузлових напруг отримати вирази для струмів в усіх вітках схеми кола, наведеної на рис 8 [5].

Розв'язок

1. Запропонована схема містить чотири вузли. Оберемо в якості базисного вузол 4. Його потенціал .

Система для знаходження вузлових напруг буде містити три рівняння на основі першого закону Кірхгофа для вузлів 1, 2, 3, потенціали яких позначимо відповідно

2. Система вузлових рівнянь має вигляд:

(5)

де – власні провідності вузлів 1, 2, 3; – спільні провідності суміжних вузлів, – вузлові струми.

Власні провідності вузлів:

; ; .

Спільні провідності вузлів:

; ; .

У вузлових рівняннях перед доданками, які містять власні провідності, завжди стоїть знак плюс, а перед доданками, що містять спільні провідності завжди буде знак мінус.

Якщо два вузли з'єднані більш ніж однією віткою, то спільна провідність дорівнює сумі провідностей всіх віток, що з'єднують ці два вузли. Якщо два вузли не мають спільних віток, то спільна провідність в цьому випадку дорівнює нулю.

Вузлові струми знаходять як алгебраїчну суму струмів джерел у вітках, які підходять до вузла і добутків провідностей віток, що підходять до вузла на ЕРС джерел, що містять ці вітки. Якщо ЕРС джерела направлена до вузла – то відповідний доданок входить до суми зі знаком плюс, в протилежному випадку – зі знаком мінус, аналогічно визначають знак струмів джерел струму.

Вузлові струми для схеми (рис. 8):

; ; .

Розв'язавши систему (5), знаходимо потенціали .

3. Для знаходження струмів у вітках електричного кола, задамося їх додатними напрямками. (рис.8). Тоді на основі закону Ома:

;

;

;

;

;

.

Приклад 10. Розрахувати струм, що тече через котушку індуктивності у схемі кола (рис. 9) методом вузлових напруг, якщо: Ом; В; В; рад; рад; рад/с; мГн; мФ.

Розв'язок

1. Приймемо за базисний вузол з номером 2, його потенціал .

2. Система рівнянь вузлових напруг має вигляд:

(6)

2. Власні провідності вузлів 1, 3, 4:

См;

См;

См.

Спільні провідності:

См;

См.

Вузлові струми:

А; А; А.

Підставляємо отримані вирази в систему рівнянь (6):

3. Методом Крамера знаходимо потенціал вузла 1:

См³;

А·См²;

В.

Таким чином, струм, що тече через індуктивність L дорівнює:

А.

2.6. Метод еквівалентного джерела енергії

Метод еквівалентного джерела енергії (генератора ЕРС) доцільно використовувати в тих випадках, коли при аналізі складного електричного кола необхідно знайти струм лише в одній з віток. Цей символічний метод розрахунку електромагнітних процесів базується на теоремі про активний двополюсник [6]: активний двополюсник (двополюсник, що містить джерело енергії) можна замінити еквівалентним джерелом, ЕРС якого дорівнює напрузі холостого ходу на виводах двополюсника (при цьому вітку, струм якої необхідно знайти, розмикають), а внутрішній опір дорівнює вхідному опору того самого, але пасивного двополюсника (із початкової схеми виключають усі джерела енергії, при цьому вітка, струм якої нас цікавить, лишається розімкненою).

Розглянемо алгоритм використання методу на прикладах.

Приклад 11. Для схеми електричного кола (рис.10), розрахувати струм через елемент методом еквівалентного джерела ЕРС [6].

Розв'язок

1. За теоремою про активний двополюсник, виділяємо вітку 1-2, струм якої необхідно знайти, а коло без цієї вітки будемо розглядати як активний двополюсник, який замінимо еквівалентним джерелом з ЕРС та внутрішнім опором (рис. 11).

2. Знайдемо параметри еквівалентного джерела ЕРС.

Для отримання розриваємо вітку, що містить .

Зі схеми (рис. 12) знаходимо:

Для знаходження внутрішнього опору еквівалентного джерела ЕРС, замикаємо накоротко джерело на рис. 12, після чого двополюсник стає пасивним.

Зі схеми (рис. 13) визначаємо:

3. Зі схеми (рис. 11) визначаємо струм через елемент :

Приклад 12. В схемі електричного кола (рис. 14), розрахувати струм через елемент методом еквівалентного джерела ЕРС, якщо: В; рад/с; Ом; Ом; мГн; мкФ.

Розв'язок

1. За теоремою про активний двополюсник, виділяємо вітку 1-2, струм якої необхідно знайти, а електричне коло без цієї вітки будемо розглядати як активний двополюсник, який замінимо еквівалентним джерелом з ЕРС та внутрішнім опором (рис.15)

2. Знайдемо параметри еквівалентного джерела ЕРС.

Для отримання в схемі (рис.14) розриваємо вітку, що містить . Із схеми (рис. 16) знаходимо:

В.

Для знаходження внутрішнього опору еквівалентного джерела ЕРС, замикаємо накоротко джерело на рис. 16, після чого двополюсник стає пасивним. Зі схеми (рис. 17) визначаємо:

Ом.

3. Зі схеми (рис. 15) визначаємо струм через елемент :

мА.

Приклад 13. Для схеми електричного кола (рис. 18), у якого В, кОм, Гн, мкФ, рад/с розрахувати струм через конденсатор методом еквівалентного джерела ЕРС.

Розв'язок

1. Аналогічно п.1 прикладів 11, 12, за теоремою про активний двополюсник, виділяємо вітку 1- С -2, струм якої необхідно знайти, а коло без цієї вітки будемо розглядати як активний двополюсник, який замінимо еквівалентним джерелом з ЕРС та внутрішнім опором .

2. Знайдемо параметри еквівалентного джерела ЕРС. Для отримання в схемі (рис.18) розриваємо вітку, що містить . Із схеми (рис. 19) знаходимо:

В.

Для знаходження внутрішнього опору еквівалентного джерела ЕРС, замикаємо накоротко джерело на рис. 19, після чого двополюсник стає пасивним. Зі схеми (рис. 20) визначаємо еквівалентний опір пасивного двополюсника відносно клем 1-2:

Ом.

3. Зі схеми (рис. 21), визначаємо струм через конденсатор:

мА.

3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Сформулюйте перший закон Кірхгофа.

2. Як визначають кількість незалежних вузлів в складному електричному колі?

3. Скільки рівнянь за першим законом Кірхгофа потрібно скласти для електричного кола, що містить 9 віток та 6 вузлів?

4. Що називають незалежним контуром?

5. Як визначають кількість незалежних контурів в складних електричних колах?

6. Скільки незалежних контурів містить електричне коло, у якого 6 віток та 4 вузли?

7. Сформулюйте другий закон Кірхгофа.

8. Скільки рівнянь за другим законом Кірхгофа потрібно скласти для електричного кола, що містить 6 віток та 4 вузли?

9. В чому полягає суть метода контурних струмів?

10. На якому законі базуються рівняння для знаходження контурних струмів при розрахунках складних електричних кіл?

11. Як обирають напрям обходу контура при застосування метода контурних струмів?

12. Скільки рівнянь потрібно скласти для електричного кола, що містить 6 віток та 4 вузли за методом контурних струмів?

13. Що називають власним опором контура?

14. Запишіть рівняння для розрахунку контурного струму в загальному вигляді.

15. Що називають спільним опором контурів?

16. Яким чином слід обирати напрям контурного струму?

17. Як за допомогою контурних струмів суміжних контурів знайти струм у вітці, що містить спільний опір?

18. Як визначають знак падіння напруги в спільному опорі при складанні рівнянь за методом контурних струмів?

19. Для чого необхідний баланс потужностей?

20. В чому полягає зведення балансу потужностей.

21. В чому полягає суть метода вузлових напруг?

22. Що називають власною провідністю вузла (метод вузлових напруг)?

23. З яким знаком входить в рівняння струм через спільну провідність у методі вузлових напруг?

24. Запишіть рівняння електричної рівноваги, складене для метода вузлових напруг, в загальному вигляді.

25. Чому дорівнює кількість рівнянь, для розрахунку електромагнітних процесів в складних електричних колах за методом вузлових напруг?

26. Як обирають обирати базисний вузол при розрахунку складних кіл за методом вузлових напруг?

27. Скільки рівнянь потрібно скласти для кола, що містить 10 віток та 5 вузлів при використанні метода вузлових напруг?

28. Чому дорівнює потенціал базисного вузла в методі вузлових напруг?

29. Як знаходять струм у вітці складного електричного кола при використанні метода вузлових напруг?

30. Що називають спільною провідністю вузлів n і k в методі вузлових напруг?

31. Сформулюйте теорему про еквівалентне джерело напруги.

32. Як визначають внутрішній опір еквівалентного джерела ЕРС за методом еквівалентного генератора?

33. Як визначають ЕРС еквівалентного джерела за методом еквівалентного генератора?