Завдання на РГР

Для схеми електричного кола змінного струму (рис.1) з елементами згідно номеру варіанту (додаток 1):

1. Скласти систему рівнянь електричної рівноваги за законами Кірхгофа в диференційній та комплексній формі;

2. Розрахувати миттєві значення струмів в усіх вітках кола методом контурних струмів;

3. Перевірити вірність розрахунків, проведених в п. 2, шляхом зведення балансу потужностей в колі;

4. Розрахувати струм через елемент методом вузлових напруг;

5. Знайти струм через елемент методом еквівалентного генератора ЕРС за умови:

Ø для парних варіантів: , ;

Ø для непарних варіантів: , .

1.3. Організаційні вказівки до виконання РГР

Номери варіантів на РГР призначаються викладачем.

Виконувати РГР рекомендується, згідно з графіком, наведеним в табл. 1.

Таблиця 1. Календарний графік виконання РГР

Пункти завдання	Термін виконання (навчальні тижні семестру)
Видача завдання на РГР
Виконання та оформлення завдання	9-13
Перевірка роботи викладачем	14-15
Захист роботи

Оцінювання РГР проводиться згідно Положення про рейтингову систему оцінки успішності студентів з кредитного модуля «ТЕК-1».

1.4. Структура пояснювальної записки до РГР

Титульний аркуш (додаток 2);

Зміст;

Вступ;

1.Завдання на РГР;

2.Розрахункова частина;

2.1. Система рівнянь електричної рівноваги за законами Кірхгофа;

2.2. Розрахунок кола методом контурних струмів;

2.3. Баланс потужностей;

2.4. Розрахунок кола методом вузлових напруг;

2.5. Розрахунок кола методом еквівалентного джерела ЕРС;

3. Висновки;

Список літератури.

1.5. Рекомендації щодо оформлення пояснювальної записки

У вищому навчальному закладі всі види носіїв навчально-наукової інформації: РГР, курсові і дипломні роботи, звіти, статті, тези, реферати, дисертації тощо відносять до наукових документів. Створені документи повинні відповідати вимогам стандартів– нормативним документам, що встановлюють комплекс норм, правил, вимог до об’єкта стандартизації на підставі досягнень науки, техніки і передового досвіду і затверджених компетентним органом у відповідності до чинного законодавства.

Пояснювальну записку до РГР, згідно з [1], виконують машинним (за допомогою комп'ютерної техніки) способом на одному боці аркуша білого паперу формату А4 (шрифт Times New Roman, 14 пт, міжрядковий інтервал 1,5, береги: верхній, лівий і нижній - не менше 20 мм, правий - не менше 10 мм).

Рекомендований обсяг пояснювальної записки складає 15-20 аркушів.

Титульний аркуш оформлюють згідно зразка (додаток 2).

Кожне нове завдання рекомендується починати з нового аркушу.

Всі схеми повинні бути накреслені згідно зі стандартами єдиної системи конструкторської документації з позначеннями всіх струмів або напруг, необхідних для розрахунків.

В роботі розрахунки і формули слід супроводжувати коментарями (посилання на літературні джерела, визначення, властивості та ін.), а також наводити проміжні етапи. Наведення числового результату розрахунків без попереднього запису у формулі замість буквених символів числових значень величин, які входять до неї, не допускається [2].

Сторінки слід нумерувати арабськими цифрами, починаючи з ціфри 3, додержуючись наскрізної нумерації впродовж усього тексту пояснювальної записки. Номер сторінки проставляють на нижньому полі аркуша без крапки в кінці. Титульний аркуш включають до загальної нумерації сторінок. Номер сторінки на титульному аркуші не проставляють [2].

2. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ДО РОЗДІЛІВ РГР

2.1. Метод комплексних амплітуд

Значення струмів і напруг лінійного електричного кола, що знаходиться під дією гармонічного джерела, можуть бути знайдені шляхом безпосереднього розв'язання диференційного рівняння кола, однак навіть для відносно простих кіл дана задача видається досить трудоємкою. На практиці аналіх таких кіл зазвичай виконують за допомогою метода комплексних амплітуд [3].

Даний метод полягає у тому, що замість гармонічних функцій розглядають вектори , що обертаються в додатному напрямі на комплексній площині та їх комплексні амплітуди .

Комплексна амплітуда – це комплексне число, що не залежить від часу, модуль і аргумент якого дорівнюють відповідно амплітуді і початковій фазі заданої гармонічної функції. Комплексна амплітуда може бути подана в трьох формах запису:

- алгебраїчній: , де , ;

- тригонометричній: ;

- показниковій: .

Проекція вектора, що обертається проти годинникової стрілки з постійною кутовою швидкістю на дійсну вісь комплексної площини дорівнює миттєвому значенню гармонічної функції

[3], причому

(1)

(2)

Комплексні амплітуди струму і напруги дорівнюють відповідно , .

Джерело напруги з ЕРС можна повністю визначити комплексною амплітудою .

Комплексні опори активного опору, індуктивності та ємності дорівнюють відповідно , , .

Комплексний опір кола: , де - відповідно активний, реактивний та повний опір кола; - кут зсуву фаз між струмом та напругою.

Комплексна провідність: , де - відповідно активна, реактивна та повна провідність.

Комплексна потужність: , де - відповідно активна, реактивна та повна потужність.

Закони Ома та Кірхгофа у комплексній формі формулюються аналогічно колам постійного струму.

Приклад 1 [4]. Записати комплексну амплітуду і комплексне діюче значення струму в показниковій, тригонометричній та алгебраїчній формах, якщо його миттєве значення дорівнює А.

Розв'язок

1. Амплітудне значення струму А, початкова фаза рад.

Комплексна амплітуда струму в показниковій формі: А;

В тригонометричній формі: А;

В алгебраїчній формі: А.

2. Комплексне діюче значення струму:

А;

В тригонометричній формі А;

В алгебраїчній формі: А.

Приклад 2 [4]. Записати вираз для миттєвого значення напруги, комплексне діюче значення якої дорівнює В, а частота Гц.

Розв'язок

1.Вираз для миттєвого значення напруги: ;

2. Знайдемо діюче значення і початкову фазу напруги за формулами (1) і (2), а також амплітуду і кутову частоту:

В;

рад;

В;

рад/с.

3. Миттєве значення напруги: В.

2.2. Застосування законів Кірхгофа для розрахунку електромагнітних процесів в електричних колах

Одним з методів розрахунку струмів і напруг в складних електричних колах є розв'язання системи рівнянь, складеної за першим і другим законами Кірхгофа [3, 5, 6].

Перший закон Кірхгофа: алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю.

При цьому струми, що втікають у вузол входять до рівняння з одним знаком (наприклад з плюсом), а струми, що виходять з вузла – з протилежним (з мінусом).

Другий закон Кірхгофа: алгебраїчна сума падінь напруг на елементах будь-якого контуру електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС в даному контурі.

При цьому задають напрям обходу контуру (наприклад, за годинниковою стрілкою), а також напрями ЕРС і падінь напруг на кожному елементі контуру. Для визначення знаків падінь напруг і ЕРС в рівнянні керуються наступним правилом: якщо напрями ЕРС і падіння напруг співпадають з напрямом обходу – відповідні складники входять до суми зі знаком плюс, якщо не співпадають – зі знаком мінус.

Система рівнянь для розрахунку електромагнітних процесів в електричному колі міститьрівняння для незалежних вузлів за першим законом Кірхгофа (їх кількість дорівнює , де – загальна кількість вузлів у колі) і рівняння для незалежних контурів за другим законом Кірхгофа (їх кількість дорівнює , де – загальна кількість віток у колі).

Таким чином, система рівнянь Кірхгофа містить рівнянь, що співпадає з кількістю віток і відповідно невідомих струмів у колі.

Розглянемо алгоритм складання систем рівнянь за законами Кірхгофа на прикладах.

Приклад 3. Для схеми електричного кола (рис.2), скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа.

Розв'язок

1. Кількість вузлів , незалежних вузлів , тому за першим законом Кірхгофа необхідно скласти три рівняння.

2. Кількість віток ; кількість незалежних контурів , тому за другим законом Кірхгофа необхідно скласти три рівняння.

3. Обрані напрями обходу контурів показані на рис.2, напрями ЕРС і падінь напруг співпадають з напрямами струмів у відповідних вітках.

4. За першим законом Кірхгофа:

Вузол 1:

Вузол 2:

Вузол 3:

5. За другим законом Кірхгофа:

Контур I :

Контур II :

Контур III :

6. Кінцева система рівнянь Кірхгофа матиме вигляд:

Приклад 4. Для схеми електричного кола (рис. 3), у якого , кОм, Гн, мкФ, Гц, В, В, В, рад, рад, рад скласти систему рівнянь за законами Кірхгофа в інтегро-диференційній та комплексній формах.

Розв'язок

1. Кількість вузлів ; незалежних вузлів , тому за першим законом Кірхгофа необхідно скласти одне рівняння.

2. Кількість віток ; кількість незалежних контурів , тому за другим законом Кірхгофа необхідно скласти два рівняння.

3. Обрані напрями обходу контурів, показані на рис. 3, напрями ЕРС і падінь напруг співпадають з напрямами струмів у відповідних вітках.

4. Система рівнянь, складена за першим та другим законами Кірхгофа, має вигляд:

(3)

5. Для отриманої системи запишемо вирази для падінь напруг на елементах за законом Ома та миттєвих значень ЕРС в інтегро-диференційній формі:

; ;

6. Після підстановки виразів для падінь напруг на елементах та значень ЕРС в систему (3), отримаємо:

7. Перепишемо отриману систему рівнянь з урахуванням заданих значень параметрів елементів:

8. Для переходу до комплексної форми системи рівнянь запишемо вирази для падінь напруг на відповідних елементах та ЕРС в комплексній формі:

; ; ;

В;

В;

В.

9. Після підстановки виразів, отриманих в п. 8, в (3), система рівнянь, складена за законами Кірхгофа, набуде вигляду:

10. Кінцевий вигляд системи з урахуванням заданих значень параметрів елементів:

2.3. Метод контурних струмів

Метод контурних струмів є одним з символічних методів розрахунку електромагнітних процесів в електричних колах. Він полягає в тому, що на основі другого закону Кірхгофа визначають так звані контурні струми, а потім з їх допомогою струми в усіх вітках електричного кола [5].

Кількість рівнянь, за другим законом Кірхгофа для визначення контурних струмів дорівнює кількості незалежних контурів.

Власним опором контуру називають сумарний опір елементів контуру, а спільним опором – опір, що одночасно належить двом або декільком контурам.

Методику розрахунку струмів в складному електричному колі за допомогою методу контурних струмів розглянемо на прикладах.

Приклад 5. Для схеми електричного кола (рис. 4), отримати вирази для струмів в усіх вітках методом контурних струмів.

Розв'язок

1. Задаємо напрями струмів у вітках , а також напрями контурних струмів (рис. 4).

2. Визначаємо кількість незалежних контурів: , тому система для знаходження контурних струмів буде містити три рівняння.

3. Для незалежних контурів , та складаємо систему рівнянь, яка відображає рівність контурних ЕРС падінням напруги на власних та спільних опорах контурів при протіканні контурних струмів:

(4)

де – контурні ЕРС (алгебраїчна сума всіх ЕРС контуру. Знак, з яким кожна ЕРС входить до суми, визначають шляхом співставлення напрямків контурного струму й ЕРС. Якщо вони співпадають – знак плюс, якщо протилежні – мінус); – власні опори контурів; – спільні опори контурів.

; ; ;

; ; ;

; ;

Доданки, що містять спільний опір, входять до рівняння зі знаком плюс, якщо напрями контурних струмів, що протікають через спільний опір, співпадають, і зі знаком мінус – якщо напрями контурних струмів протилежні.

Підставивши вирази для контурних ЕРС, власних та спільних опорів у систему (4), отримаємо:

Контурні струми можна розрахувати за допомогою метода Крамера [7]:

;

Струми в вітках, що належать тільки одному контуру дорівнюють контурному струму цього контуру (якщо напрям струму в вітці співпадає з напрямом контурного струму) або контурному струму зі знаком мінус (якщо напрям протилежний).

Струми у вітках, що належать одночасно декільком контурам, дорівнюють алгебраїчній сумі контурних струмів суміжних контурів (знак плюс мають контурні струми, напрям яких співпадає з напрямом струму через спільний опір, знак мінус – у тих контурних струмів, напрям яких протилежний до струму через спільний опір).

; ; ; ; ; .

Приклад 6. Для схеми електричного кола (рис.5), розрахувати струми в усіх вітках методом контурних струмів, якщо: Ом, ; мГн; мФ; В; В; В; рад, рад, рад, Гц.

Записати вирази для миттєвих значень отриманих струмів.

Розв'язок

1. Задаємо напрями струмів у вітках і напрями контурних струмів (рис.5).

2. Визначаємо кількість рівнянь для знаходження контурних струмів:

, тому має бути 3 рівняння.

3. Складаємо систему рівнянь для контурів з контурними струмами (система буде такою ж, як (4)).

4. Обчислимо складники системи:

В;

В;

В;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом;

рад/с.

5. Підставляємо отримані значення до системи (4):

6. Для розв'язання отриманої системи методом Крамера знайдемо її визначники:

Ом³;

В·Ом²;

В·Ом²;

В·Ом².

7. Запишемо вирази для розрахунку контурних струмів:

А;

А;

А.

8. За відомими правилами знайдемо струми у вітках кола:

А;

А;

А;

А;

А;

А;

9. Миттєві значення отриманих струмів запишемо згідно виразу:

10. Амплітудні значення струмів розрахуємо згідно (1):

А;

А;

А;

А;

А;

А.

11. Початкові фази струмів розрахуємо згідно (2):

рад;

рад;

рад;

рад;

рад;

рад;

Отже, миттєві значення струмів

А;

А;

А;

А;

А;

А.