Определение производной функции

Производная функции используется для решения многих задач, в особенности при изучении скорости разных процессов, в том числе и экономических.

Пусть имеем некоторую функцию , определенную на некотором промежутке. Рассмотрим два значения аргумента: исходное и новое . Разность называется приращением аргумента в точке . Отсюда получаем , т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение. Тогда если в точке значение функции было , то в новой точке функция будет принимать значение . Разность называется приращением функции в точке и обозначается символом .

Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю

.

Функция , имеющая производную в каждом интервале, называется дифференцируемой в этом интервале. Операция нахождения производной от данной функции называется дифференцированием этой функции. В результате дифференцирования получается некоторая функция, обозначаемая . Также производная функции обозначается Конкретное значение производной функции в точке обозначается

Для функции найдем ее производную по определению и значение производной этой функции в точке . Аргументу даем приращение . Находим приращение функции

. Определяем отношение . Находим предел этого отношения, когда : . Итак, . Значение производной функции в точке равно .

Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции и обозначается или . Итак, . Аналогично определяется производная любого порядка.

Пусть функция описывает какой-либо физический процесс, тогда производная есть скорость изменения этого процесса, а вторая производная – ускорение. В этом состоит физический смысл производной.

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специальной терминологией. Например, если есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора , то называют предельным продуктом; если есть функция издержек, т.е.выражает зависимость общих затрат от объема продукции , то называют предельными издержками.

Пусть = – количество произведенной продукции за время t. Тогда P есть производительность труда P в момент времени , а есть скорость изменения производительности труда в момент времени .

Во многих задачах часто требуется вычислять процент прироста зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит к понятию эластичности функции. Эластичность E функции вычисляют по формуле . Эластичность функции показывает, на какое количество процентов изменится значение функции при изменении аргумента на 1%.

Уравнение касательной к графику функции в точке касания имеет вид . Таким образом, геометрически представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке , в этом состоит геометрический смысл производной.

Отметим также, что если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна. Обратное утверждение неверно. Так, функция непрерывна в точке , но не дифференцируема в ней.