Непрерывность и точки разрыва функции. Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная

Представление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. Строгое определение непрерывности функции в точке следующее.

Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет трем условиям: 1. Функция определена в точке и в некоторой её окрестности, т.е. существует . 2. Имеет конечный предел при , то есть . 3. Этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Например, все три условия для функции в точке выполнены, и она является непрерывной в этой точке. Для функции в точке первое условие не выполнено, и она не является непрерывной в этой точке. Функция не имеет общего предела в точке , т.е. не выполняется второе условие и непрерывность нарушается в этой точке. Для функции не выполняется третье условие в точке , и она не является непрерывной в этой точке.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если существуют пределы и , то точка называется точкой разрыва первого рода. В случае, когда , – точка устранимого разрыва. Если один из этих пределов не существует или равен , то точка называется точкой разрыва второго рода. Например, величина налоговой ставки от дохода имеет график:

На концах промежутков эта функция имеет точки разрыва, причем они являются точками разрыва первого рода.

Отметим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке. Функция, непрерывная на отрезке, хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка найдется, по крайней мере, одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Контрольные вопросы

1. Что такое функция?

2. Какие существуют способы задания функций?

3. Приведите примеры функциональных зависимостей в экономике.

4. Сформулируйте определение предела функции в точке и в бесконечности.

5. Какие функции называются бесконечно большими и бесконечно малыми? Укажите их свойства.

6. Как находятся пределы функций?

7. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке и на промежутке.

8. Какие существуют точки разрыва функции?