Еслина , то

5. Если непрерывна на отрезке , - наименьшее, - наибольшее значения на , то (теорема об оценке определённого интеграла).

6. Если непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что справедливо равенство (теорема о среднем значении). Число называется при этом средним значением функции непрерывной на отрезке .

Понятие определённого интеграла тесно связано с понятием неопределённого интеграла (первообразной).

Если функция непрерывна на отрезке и - одна из её первообразных, то справедливо равенство:

(формула Ньютона-Лейбница).

Следствиями формулы Ньютона-Лейбница являются формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на , то

(формула интегрирования по частям).

Если функция - непрерывно дифференцируема на отрезке и функция непрерывна на отрезке , где , ( -образ отрезка , т.е. отрезок для которого при всех ), то

(формула замены переменной).

При замене переменной в определённом интеграле в отличие от вычисления неопределённого не нужно возвращаться к исходному аргументу, так как преобразованный определённый интеграл берётся по тому отрезку, по которому изменяется новый аргумент.

При вычислении неопределённого интеграла по умолчанию предполагалось, что первообразная находится на тех промежутках, на которых выполняемые преобразования подынтегральной функции являются тождественными. При вычислении же определённого интеграла первообразная находится на заданном отрезке, поэтому здесь уже необходимо следить за тождественностью выполняемых преобразований.