Нормальное распределение. Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон (закон Гаусса)

Среди распределений непрерывных случайных величин центральное место занимает нормальный закон (закон Гаусса), плотность вероятности которого имеет вид:

,

где и - параметры нормального распределения.

Нормальный закон распределения очень широко распространён в вопросах практики. Он проявляется во всех тех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. Каждый фактор в отдельности на величину влияет незначительно и нельзя указать, какой именно в большей степени, чем остальные. Примерами случайных величин, имеющих нормальное распределение, могут служить: отклонение действительных размеров деталей, обработанных на станке, от номинальных размеров, ошибки при измерении, отклонения при стрельбе и другие.

Основная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. В центральной теореме теории вероятностей доказывается, что при достаточно большом сумма независимых случайных величин , подчинённых каким угодно законам распределения (при соблюдении некоторых ограничений), будет иметь закон распределения, как угодно близкий к закону нормального распределения.

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметрический холмообразный вид. Максимальная ордината кривой равная , соответствует точке . По мере удаления от точки плотность распределения падает, и при кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Сделаем замену:

Первый интеграл равен нулю, как интеграл от нечётной функции в симметричных пределах, второй интеграл – интеграл Эйлера-Пуассона.

.

Следовательно, То есть параметр представляет собой математическое ожидание величины . Этот параметр, особенно в задачах стрельбы, часто называют центром рассеивания.

Сделаем замену:

.

Интегрируя по частям, получим

.

Первое слагаемое в фигурной скобке равно нулю (так как при убывает быстрее, чем возрастает любая степень ), второе слагаемое равно .

.

Следовательно, параметр в формуле нормального распределения есть ни что иное, как среднее квадратическое отклонение величины

Если изменять центр рассеивания , кривая распределения будет смещаться вдоль оси абсцисс, не изменяя своей формы. Центр рассеивания характеризует положение распределения на оси абсцисс.

Параметр характеризует не положение, а саму форму кривой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна , при увеличении максимальная ордината кривой уменьшается. Так как площадь под кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении кривая становиться более плавной, растягиваясь вдоль оси абсцисс. Напротив при уменьшении кривая распределения вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной.

III

II

I

0

. I соответствует самому большому, III – самому малому значению .

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами и ().

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами и . Например, если - нормальная величина с параметрами и , то - нормированная нормальная величина, причём

Плотность нормированного распределения . Для этой функции приведены таблицы в приложениях.

Для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал пользуются функцией Лапласа:

.

Для этой функции также имеются таблицы.

.

Функция Лапласа есть функция нечётная. Её значения возрастают от –

-0,5 до 0,5. График её приведён на рисунке.

0,5

0

-0,5

При можно считать

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределённой случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа .

Воспользуемся этой формулой и найдём вероятность попадания случайной величины , имеющей нормальное распределение с параметрами и , на интервал . При расчётах используем таблицу значений функции Лапласа, получим:

Таким образом, для нормально распределённой случайной величины с параметрами и выполнение неравенства практически достоверно. В этом заключается так называемое «правило трёх сигм».