Классификация событий. Полная группа событий

Случайные события и вероятность

В теории вероятностей одним из основных понятий является понятие «события». Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примерами событий могут служить:

А - появление герба при бросании монеты;

В – появление туза при вынимании карты из колоды;

С – попадание в цель при выстреле.

Каждое из событий обладает какой-то степенью возможности. Например, событие А более возможно, чем событие В. Относительно события С ничего сказать нельзя, для этого следует уточнить условия опыта.

Для количественного сравнения событий по степени их возможности, с каждым из них свяжем понятие вероятности события.

Вероятность события – численная мера степени объективной возможности этого события. Понятие вероятности события в самой своей основе связано с опытом, понятием частоты события.

Частотой события А в данной серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых появилось событие, к числу всех испытаний. По мере увеличения числа опытов, частота постепенно стабилизируется, принимает значения, мало отличающиеся от некоторого числа, которое и называется вероятностью события.

В качестве единицы измерения вероятности естественно принять вероятность достоверного события, т.е. такого события, которое в результате опыта непременно должно произойти. Например, при взрыве осколочного снаряда достоверное событие – разрушение оболочки. Припишем достоверному событию вероятность равную единице, тогда все другие события – возможные, но не достоверные, будут характеризоваться вероятностями, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т.е. такое событие, которое в данном опыте не может произойти. Например, при отсутствии тока в электрической цепи невозможное событие – загорание лампочки. Естественно приписать невозможному событию вероятность равную нулю. Таким образом, диапазон изменения вероятностей любых событий – числа от 0 до 1.

Полная группа событий. Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры:

1. Попадание и промах при выстреле.

2. Появление белого шара и чёрного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых и 3 чёрных шара.

Несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Примеры:

1. Выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты.

2. Появление 1,3,4 очков при бросании игральной кости.

Равновозможные события. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Примеры:

1. Появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды.

2. Выпадение любого количества очков от единицы до шести при подбрасывании игральной кости.

Существуют группы событий, обладающие всеми тремя свойствами: они образуют полную группу, несовместны и равновозможны. Например, появление герба и цифры при бросании монеты. Тогда события называются случаями, а про опыт говорят, что он «сводится к схеме случаев».

Случай называется благоприятным некоторому событию, если появление этого случая влечёт за собой появление данного события.

Например, при бросании игральной кости событию А – появлению чётного числа очков, благоприятны три случая: выпадение 2,4,6 очков.

Если опыт сводится к схеме случаев, то вероятность события А в данном опыте можно оценить по относительной доле благоприятных случаев. Вероятность события А вычисляется, как отношение числа благоприятных случаев к общему числу случаев.

(1)

- вероятность события А, n – общее число случаев, - число случаев благоприятных событию .

.

Формула (1) – «классическая формула» для вычисления вероятностей.

Пример: В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны вынимается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

- событие, состоящее в появлении белого шара. Общее число случаев 5, число случаев, благоприятных событию , Следовательно,