Формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события, которое может произойти вместе с одним из событий

Пусть требуется определить вероятность некоторого события, которое может произойти вместе с одним из событий

,

образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

т.е. вероятность события вычисляется как сумма произведения вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события при этой гипотезе.

Формула носит название формулы полной вероятности.

Доказательство:

Так как гипотезы образуют полную группу событий, то событие может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез

Так как - несовместны, то - тоже несовместны. По теореме сложения для несовместных событий и по теореме умножения получим

.

Пример: Имеются три урны, в первой – два белых и один чёрный шар, во второй – три белых и один чёрный шар, в третьей – два белых, два чёрных шара. Найти вероятность того, что некто, выбирающий наугад урну, вынет из неё белый шар.

Три гипотезы:

- выбор первой урны;

- выбор второй урны;

- выбор третьей урны.

Так как гипотезы равновозможны, то

Событие - появление белого шара.

Теорема гипотез (формула Байеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез . До опыта их вероятности - . Произведён опыт, в результате которого появилось событие . Надо найти как изменились вероятности гипотез после события .

Пример: Два стрелка стреляют по мишени, делая по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка , для второго - . После стрельбы обнаружена одна пробоина. Найти вероятность, что пробоина принадлежит первому стрелку.

До опыта возможны четыре гипотезы:

- ни первый, ни второй не попадут;

- оба попадут;

- первый попадёт, второй нет;

- первый не попадёт, второй попадёт.

Вероятность произошедшего события при этих гипотезах.

После опыта гипотезы и становятся невозможными, а вероятности гипотез и равны:

.

Вероятность того, что пробоина принадлежит первому стрелку -

Наиболее употребительная вероятностная модель в простых случаях – это урновая модель. Пусть имеется урна с одинаковыми шарами. Испытание состоит в том, что мы случайно выбираем из урны шар. Обозначим множество шаров в урне. Если из урны при испытании мы вынимаем шар , где - некоторое подмножество множества шаров , то мы будем говорить, что произошло событие , если же , то мы будем говорить, что событие не произошло. В данном случае событие отождествляется с подмножеством множества элементарных событий (элементарных исходов).

В общем случае мы будем рассматривать некоторое основное множество . Будем называть его элементы - элементарными событиями, а само множество - пространством элементарных событий, а некоторое его подмножества событиями. Операции над событиями – это операции над множествами.

Операции суммы и произведения событий можно распространить на любое конечное или бесконечное множества событий , . Обычные свойства операций над множествами переносятся на операции над событиями. Например,

В случае бесконечного пространства мы рассматриваем не все подмножества , а лишь некоторые классы этих подмножеств, называемые - алгеброй множеств.

Определение: Назовём класс A подмножеств пространства алгеброй множеств, если

1). ;

2). из , следует ;

3). из следует .

Определение: Алгебру множеств назовём - алгеброй, если из следует .