Тема №7 Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть событие А может наступить только с одним из n попарно несовместных событий Н₁, Н₂, …, Н_n, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

.

Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р (H_i)(i = 1,2,…,n)можно переоценить, т.е. найти условные вероятности p (H_i / A).

Эта задача решается по формуле Байеса:

, (12)

где р (А) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.

а) Какова вероятность того, что этот шар белый?

б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую были переложены 2 белых шара?

Решение. а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н₁ – из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н₂ – переложены 2 разноцветных шара, Н₃ – переложены 2 черных шара. Тогда

р(Н) = р(Н_i) p(A/H_i) + p(H₂) p(A/H₂) + p(H₃) p (A/H₃).

Вероятности гипотез Н_i и условие вероятности p(A/ Н_i) (i = 1, 2, 3) вычисляем по классической схеме:

, , ;

, , .

Полученные результаты подставим в формулу (1):

.

б) Вероятность р(Н₁/А) находим по формуле Байеса:

.