Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.
Правила сложения и умножения вероятностей: если события А1, А2,…,Аn, … попарно несовместны, то справедливо равенство
р(А1+ А2,+…+ Аn +…) = р(А1) + р(А2) +…+ р(Аn)+... (1)
Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:
. (2)
Для произвольных событий А и В имеет место формула (см. §3, задача 37(а)):
р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ). (3)
В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид (см. §3, задача 38):
. (4)
Вероятность р(В/А) события В при условии наступления события А по определению равна:
. (5)
Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:
р(АВ) = р(А) р(В/А). (6)
Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2 / A1) p(A3 / A1A2)+…+ р(Аn /A1A2…An-1) (7)
События А1, А2,… Аn называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.
Правило умножения вероятностей для n событий: если события А1, А2,… Аn независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.
р(А1 А2… Аn) = р(А1) р(А2) … р(Аn). (8)
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р (9)
В частности, если события А1,А2,…, Аn независимы, то
р(А1 +А2 +…+ Аn) = 1 - р =
= 1 – (1 – р(А1))(1 – р(А2))…(1 – р(Аn)). (10)
Пример 1. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?
Решение. Введем обозначения: событие А – попадание первого стрелка, событие В – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков. Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)
р(С) = р(А) + р)В) – р(АВ).
Так как события А и В независимы, то
р(С) = р(А) + р)В) – р(А) р(В).
Наконец, учитывая, что р(А) = 0,8, р(В) = 0,6, получаем:
р(С) = 0,8 + 0,6 – 0,8 · 0,6 = 0,92.
Пример 2. Монета брошена три раза. Найдите вероятность того, что герб выпадет ровно два раза.
Решение. Введем обозначения: Аi – выпадение герба при i-м бросании монеты (i = 1, 2, 3), А – выпадение 2 гербов при 3 бросаниях монеты. Тогда А = А1А2 + А1 А3 + А2А3. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по правилу сложения вероятностей имеем:
р(А) =р(А1А2 ) + р(А1 А3) + р( А2А3).
Наконец, учитывая независимость событий А1, А2, А3, по правилу умножения вероятностей получаем:
р(А) =р(А1 ) р(А2 ) р() + р(А1 ) р() р(А3) + р() р(А2 ) р(А3)=
= .
Пример 3. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?
Решение. Укажем 2 способа решения, из которых первый состоит в непосредственном подсчете искомой вероятности по классической схеме, а второй – в применении формулы (7).
Первый способ. Представим себе урну, в которой 5 красных и 7 белых шаров. Красные шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 красных шаров. Тогда искомая вероятность равна: .
Второй способ. Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Введем обозначения: А1 – первый шар красный, А2 – второй красный, А3 – третий красный и А – все 3 шара красные. Тогда А = А1А2А3 и по формуле (7) при n = 3 имеем:
р(А) = р(А1) р(А2/A1) p(A3/A1A2) = .
Пример 4. 3 стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень (событие D)?
Пусть событие А, В, С – соответственно попадание в мишень 1, 2, и 3-го стрелка. Тогда D= А + В + С. Однако лучше представить D как событие, противоположное (ни одного попадания): D = . По формуле (10) тогда имеем: p(D) = 1 – p() p() p() = 1 – 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,994.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 308 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!