IV. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

1. Имеется две партии однородных изделий. Первая содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая - 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется дефектным?

2. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата в три раза больше производительности второго. Вероятность изготовления годной детали первым автоматом равна 0,9, вторым - 0,7. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь окажется годной?

3. С первого автомата поступает на сборку 80% деталей, со второго -20% таких же деталей. На первом автомате брак составляет 1%, на втором -4%. Две проверенные детали, изготовленные одним и тем же автоматом, оказались бракованными. Какова вероятность того, что они изготовлены первым автоматом?

4. Имеется две партии однородных изделий. Первая партия содержит 100 изделий, из которых 20 дефектных, вторая - 200 изделий, из которых тоже 20 дефектных. Из первой партии наугад взяли 60 изделий, из второй – 30. Эти изделия смешали, образуя новую партию. Какова вероятность того, что взятое из новой партии изделие окажется дефектным?

5. Из восемнадцати стрелков пять попадают в мишень с вероятностью 0,8, семь - с вероятностью 0,7, четыре - с вероятностью 0,6 и два - с вероятностью 0,5. Один из стрелков сделал выстрел, но в мишень не попал. К какой из перечисленных выше групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

6. В группе из десяти студентов, пришедших на экзамен, три подготовлены отлично, четыре хорошо, два - посредственно и один – плохо. В экзаменационных билетах имеется двадцать вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все двадцать, хорошо подготовленный - на шестнадцать, посредственно подготовленный - на десять, плохо подготовленный - на пять Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Какова вероятность того, что этот студент посредственно подготовлен?

7. Ученик забыл последнюю цифру даты Куликовской битвы и поэтому называет ее наудачу. Определить вероятность того, что до правильного ответа ему придется отвечать не более трех раз.

8. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и одной задаче. Всего составлено 28 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил только 50 теоретических вопросов и сможет решить задачи к 22 билетам. Какова вероятность того, что, вынув наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?

9. В коробке имеются 2 красный, 3 синих и 2 зеленых карандаша. Из нее наудачу без возвращения вынимают один за другим по одному карандашу. Найти вероятность того, что красный карандаш появится раньше синего.

10. Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,8. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену, вероятность сдачи которого равна 0,9. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет и экзамен?

11. Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. В каком случае он имеет большую вероятность сдать экзамен, если он идет отвечать первым или если - вторым?

12. Из группы, состоящей из четырех юношей возраста 17, 18, 19 и 20 лет и четырех девушек тех же лет, наугад выбирают двух человек. Какова вероятность того, что:

а) оба выбранных окажутся юношами;

б) оба окажутся юношами, если известно, что один из выбранных юноша;

в) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша, которому не более 18 лет;

г) оба окажутся юношами, если известно, что один из них юноша 17 лет?

13. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный?

14. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй - 6 белых и 4 черных. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар вынут из первой урны?

15. В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из них вероятность попадания кольца на колышек равна 0,6, для трех других - 0,5 и для остальных - 0,3. Кольцо, брошенное одним из юношей, попало на колышек. Какова вероятность того, что это кольцо было брошено юношей из первой группы?

16. Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили ответы на все вопросы, 8 - на 25 вопросов, 5 - на 20 вопросов и двое - на 15. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный ему вопрос. Найдите вероятность того, что этот студент: а) подготовил все вопросы; б) подготовил только половину вопросов.

17. Имеются 3 одинаковые урны. В первой находятся 4 белых и 6 черных шаров, во второй - 7 белых и 3 черных и в третьей - только черные. Наудачу выбирается урна и из нее наугад вынимается один шар. Выбранный наудачу шар оказался черным. Какова вероятность того, что шар вынут из первой урны?