Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
#256
Задача:
Случайная величина Х задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение: а) меньшее 0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.
Решение:
а) Так как при х≤2 функция F(х)=0, то F(0, 2)=0, т.е. P(х < 0, 2)=0;
б) Р(Х < 3) = F(3) = [0.5x-1]x=3 = 1.5-1 = 0.5;
в) события Х≥3 и Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;
г) сумма вероятностей противоположных событий равна единице, поэтому Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функция F(x)=1, получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.
#257
Задача:
Случайная величина Х задана функцией распределния
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний величина Х ровно три раза примет значение, принадлежащее интервалу (0.25, 0.75).
Решение:
Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a<X<b)=F(b)-F(a). Положив а=0.25, b=0.75, получим
P(0.25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5
#258
Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная X в результате испытания примет значение большее
Решение. События и - противоложные, поэтому . Следовательно, . Так как , то .
По определению функции распределения, .
Следовательно, , или Отсюда , или .
#259
Случайная величина X задана на всей оси Ox функцией распределения . Найти возможное значения , удовлетворяющее условию: с вероятностью случайная X в результате испытания примет значение большее
Решение. События и - противоложные, поэтому . Следовательно, . Так как , то .
По определению функции распределения, .
Следовательно, , или . Отсюда , или .
#260
Дискретная случайная величина X задана законом распределения
Найти функцию распределения и начертить ее график.
Решение.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
#261
Дискретная случайная величина X задана законом распределения
Найти функцию распределения и начертить ее график.
Решение.
#262
Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
Найти плотность распределения f(x).
Решение.
Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
:
При x=0 производная не существует.
#263
Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
Найти плотность распределения f(x).
Решение.
Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
:
При x=0 производная не существует.
#264
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение
Воспользуемся формулой . По условию , и . Следовательно, искомая вероятность
#265
Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала . Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение
Воспользуемся формулой . По условию , и . Следовательно, искомая вероятность
#266
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х в интервале (-π/2, π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что в трех независимых испытаниях Х примет ровно два раза значение, заключенное в интервале (0, π/4).
Решение.
Воспользуемся формулой Р(a<X<b)=abfxdx. По условию а=0, b=π/4, f(x)=(2/π)*cos2x. Следовательно, искомая вероятность
Р(0<X< π/4)=(2/π)*0π/4cos2x dx=2π0π4cos2x+12dx=1π12+π4=π+24π.
Ответ: π+24π.
#267
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
fx=0, при x≤0cosx, при 0<x≤π20, при x≥ π2.
Найти функцию распределения F(x).
Решение.
Используем формулу
F(x)=-∞xfxdx.
Если х ≤0, то f(x)=0, следовательно,
F(x)=-∞00dx=0.
Если 0<x≤π2, то
F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.
Если x≥ π2, то
F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.
Итак, искомая функция распределения
Fx=0, при x≤0sinx, при 0<x≤π21, при x> π2.
#268
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
Fx=0, при x≤0sinx, при 0<x≤π20, при x> π2.
Найти функцию распределения F(x).
Решение.
Используем формулу
F(x)=-∞xfxdx.
#271
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана на всей оси Ох равеством . Найти постоянный параметр С.
Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию . Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
.
Отсюда
. (*)
Найдем сначала неопределенный интеграл:
.
Затем вычислим несобственный интеграл:
Таким образом,
(**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим .
#272
Плотность распределения непрерывной случайной величины задана на всей оси равенством Найти постоянный параметр С.
Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию . Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
.
Отсюда
. (*)
Найдем сначала неопределенный интеграл:
.
Затем вычислим несобственный интеграл:
Таким образом,
(**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим .
#273
Плотность распределения непрерывной случайной величины X в интервале равна ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.
Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , но так как f(x) вне интервала равна 0 достаточно, чтобы она удовлетворяла: Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
.
Отсюда
. (*)
Найдем сначала неопределенный интеграл:
.
Затем вычислим несобственный интеграл:
(**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим .
#274
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х задана в интервале равенством ; вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный параметр С.
Решение. Плотность распределения должна удовлетворять условию , но так как f(x) вне интервала равна 0 достаточно, чтобы она удовлетворяла: Потребуем, чтобы это условие выполнялось для заданной функции:
.
Отсюда
. (*)
Найдем сначала неопределенный интеграл:
.
Затем вычислим несобственный интеграл:
(**)
Подставив (**) в (*), окончательно получим .
#275
Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = 2x в интервале (0,1); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. Используем формулу
Подставив a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, получим
М (Х) =
Ответ: 2/3.
#276
Случайная величина X задана плотностью распределения ƒ(x) = (1/2)x в интервале (0;2); вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. Используем формулу
Подставив a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, получим
М (Х) = = 4/3
Ответ: 4/3.
#277
Случайная величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения
ƒ(x) =; вне этого интервала ƒ(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. Используем формулу
Подставив a = –с, b = c, ƒ(x) =, получим
Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю. Следовательно, М(Х) = 0.
Этот результат можно получить сразу, если принять во внимание, что кривая распределения симметрична относительно прямой х = 0.
Ответ: 0.
#286
Случайная величина Х в интервале (2, 4) задана плотностью распределения f(x)= ; вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Решение. Представим плотность распределения в виде . Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=3, поэтому и .
#287
Случайная величина Х в интервале (3, 5) задана плотностью распределения f(x)= ; вне этого интервала f(x)=0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины Х.
Решение. Представим плотность распределения в виде . Отсюда видно, что при х=3 плотность распределения достигает максимума; следовательно, . Кривая распределения симметрична относительно прямой х=4, поэтому и .
#288
Случайная величина Х в интервале (-1, 1) задана плотностью распределения ; вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду; б) медиану Х.
Решение. Плотность распределения не имеет максимума, а следовательно мода не существует. Однако легко заметить, что кривая распределения симметрична относительно прямой х=0, следовательно .
#289
Случайная величина Х при х≥0 задана плотностью вероятности (распределение Вейбулла) ; . Найти моду Х.
Решение.
#290
Доказать, что математическое ожидание непрерывной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим её возможными значениями.
Решение. Пусть Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x) на отрезке [a, b]; вне этого отрезка f(x)=0. Тогда a≤x≤b. Учитывая, что f(x)=0, получим . Проинтегрируем это двойное неравенство в пределах от a до b:
.
Принимая во внимание, что
,
Окончательно получим .
#291
Доказать, что если и , то
.
Решение.
#292
Случайная величина Х в интервале (-c, c) задана плотностью распределения , вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию Х.
Решение. Будем искать дисперсию по формуле
.
Подставляя М(Х)=0, получим
.
Сделав подстановку x=c sin t, окончательно имеем D(X)=c2 /2.
#293
Условие задачи:
Случайная величина Х в интервале (-3,3) задана плотностью распределения
f(x) = 1/(π ); вне этого интервала f(x) = 0. а) Найти дисперсию Х; б) Что вероятнее: в результате испытания окажется Х > 1 или Х < 1?
Решение задачи:
а) Будем искать дисперсию по формуле:
D(x) = ,
где М(x) – математическое ожидание величины Х, вычисляемое по формуле:
М(x) =
Подставим a = -3, b = 3, f(x) = 1/(π ), получим:
M(x) =
Учитывая, что подынтегральная функция нечетная и пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, заключаем, что интеграл равен нулю, т.е. M(x) = 0. Подставляя это значение в формулу для вычисления дисперсии, получим:
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 16397 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!