Ответ: 7/16 10 страница. Дискретная случайная величина X принимает k положительных значений ,

Объединяя, получим Ч.Т.Д.

#204

Дискретная случайная величина X принимает k положительных значений , , …, с вероятностями, равными соответственно , , …, . Предполагая, что возможные значения записаны в возрастающем порядке, доказать, что

Решение: Принимая во внимание, что и , получим

Так как по условию возможные значения X записаны в возрастающем порядке, т. е. , то

и .

Следовательно,

Предположение доказано.

#205

Доказать, что если случайные величины Х1, Х2,…Хn независимы, положительны и одинаково распределены, то

MX1X1+X2+…+Xn=1n

Решение.

Введем в расмотрение случайные величины

Y1=X1X1+X2+…+Xn, Y2=X2X1+X2+…+Xn, …,Yn=XnX1+X2+…+Xn. *

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

MY1=MY2=…=MYn. **

Легко видеть, что Y1+Y2+…+Yn=1, следовательно,

M(Y1+Y2+…+Yn)=M1=1.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

MY1+MY2+…+MYn=1.

В силу (**) имеем nM(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/n.

Учитывая (*), окончательно получим

MX1X1+X2+…+Xn=1n.

Что и требовалось доказать.

#206

Доказать, что если случайные величины Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 независимы, положительны и одинаково распределены, то

MX1+X2+X3X1+X2+X3+X4+X5=35.

Указание. Представить дробь, стоящую под знаком математического ожидания, в виде суммы трех дробей и воспользоваться решением задачи 205.

Решение.

Введем в расмотрение случайные величины

Y1=X1X1+X2+X3+X4+X5, Y2=X2X1+X2+X3+X4+X5,Y3=X3X1+X2+X3+X4+X5. *

Заметим, что знаменатели этих дробей не могут быть равными нулю, поскольку величины Yi также одинаково распределены и, следовательно, имеют одинаковые числовые характеристики, в частности, одинаковые математические ожидания:

MY1=MY2=MY3. **

Легко видеть, что Y1+Y2+Y3=1, следовательно,

M(Y1+Y2+Y3)=M1=1.

Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому

MY1+MY2+…+MYn=1.

В силу (**) имеем 5M(Y1)=1. Отсюда M(Y1)=1/5.

Учитывая (*), окончательно получим

MX1+X2+X3X1+X2+X3+X4+X5=35.

Что и требовалось доказать.

#207

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, распределенной по закону Пуассона:

X				…	k	…
P		λ	λ2	…	λk	...

Решение.

По определению математического ожидания для случая, когда число возможных значений X есть счетное множество,

M(X) = * λk .

Учитывая, что при k=0 первый член суммы равен нулю, примем в качестве наименьшего значения k единицу:

M(X) = * λk =λ *

Положив k-1=m, получим

M(X)=λ *

Принимая во внимание, что * = , окончательно имеем

M(X)= λ*e-λ*eλ= λ.

Итак,

М(X)= λ,

Т.е. математическое ожидание распределения Пуассона равно параметру этого распределения λ.

#208

Случайные величины X и Y независимы. Найти

дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если из-

известно, что D(Х) = 5, D(Y) = 6.

Решение. Так как величины X и Y независимы, то незави-

независимы также и величины ЗА" и 2Y. Используя свойства дисперсии

(дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме

дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак

дисперсии, возведя его в квадрат), получим

D (Z) = D {ZX+2Y) = D CX)+?> BY) = 9D (X) + W (К)=9• 5+4.6=69.

#209

Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z=2X+3Y, если известно, что D(X)=4, D(Y)=5.

Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 2X и 3Y. Используя свойства дисперсии получим:

D(Z)=D(2X+3Y)=D(2X)+D(3Y)=4D(X)+9D(Y)=4*4+9*5=61.

#210

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:

X	-5
p	0,4	0,3	0,1	0,2

РЕШЕНИЕ.

Найдем искомую дисперсию: .

Найдем искомое отклонение: .

#211

Условие:

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , заданной законом распределения:

a) б)

Решение:

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой:

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Напишем закон распределения для :

a) б)

Найдем математическое ожидание

а)

б)

Найдем искомую дисперсию:

а)

б)

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

a)

б)

#212

Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения х1 и х2, причем равновероятных. Доказать, что дисперсия величины Х равна квадрату полуразности возможных значений;

.

Решение: найдем математическое ожидание Х, учитывая, что вероятности возможных значений х1 и х2 и, следовательно, каждая из них равна ½;

.

Найдем математическое ожидание ;

,

Найдем дисперсию Х:

.

#213

Найти дисперсию дискретной случайной величины X—числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Решение.

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях (с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

D(X) = npq.

По условию, n = 5; р = 0,2; q = 1—0,2 = 0,8.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 5-0,2- 0,8 = 0,8.

Ответ:0,8

#214

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение

Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях(с одинаковой вероятностью появления события в каждом испытании) равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события:

.

По условию, n = 10, p = 0,9, q = 0,1.

Искомая дисперсия

Ответ: 0,9

#215

Задание: Найти дисперсию дискретной случайной величины —числа появлений события в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что .

Решение. Первый способ: Возможные значения величины таковы: (событие не появилось), (событие появилось один раз) и (событие появилось два раза).

Найдем вероятности возможных значений по формуле Бернулли:

Напишем закон распределения :

Найдём

В силу условия , т. е. . Отсюда и, сле-

следовательно, .

Искомая дисперсия

Второй способ: Воспользуемся формулой . По условию, ; . Следовательно, . Отсюда и, значит, .

Найдем искомую дисперсию:

#216

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что М(Х)=0.9.

Решение.

D(X)=npq

M(X)=np, n=2 => p=0.45.

q=1-p=0.55

D(X)=2*0.45*0.55=0.495

Ответ: 0.495.

#217

Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А, если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.

Решение:

Дисперсия равна:

D(X)=npq=3*pq=0,63

pq=0,21

q=1-p

p-p2=0,21

p2-p+0,21=0

Решим квадратное уравнение.

Искомая вероятность появления события А равна:

p1=0,7

p2=0,3

#218

Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что Х примет значение х2, равна 1-0,6=0,4

Напишем закон распределения Х:

X x1 x2

P 0,6 0,4 {1}

Для отыскания x1 и x2 надо составить два уравнения, связывающие эти числа. С этой целью выразим известные математическое ожидание и дисперсию через x1 и x2

Найдём М(Х)

М(Х)=0,6*x1+0,4*x2

По условию, М(Х)=1,4, следовательно

0,6*x1+0,4*x2=1,4 {2}

Для того, чтобы получить второе уравнение, выразим известную дисперсию через x1 и x2

Напишем закон распределения Х2

Х2

p 0,6 0,4

найдём М(Х2)

М(Х2)=0,6* + 0,4*

Найдём дисперсию

D(X)= М(Х2)-[ М(Х)]2=0,6* + 0,4* -1,42

Подставляя D(X)=0,24, после элементарных преобразований получим
0,6* + 0,4* =2,2 {3}

Объединяя {2} и {3}, получим систему уравнений

Решив эту систему, найдём 2 решения

x1=1, x2=2; x1=1,8, x2=0,8

По условию x2>x1,поэтому задаче удовлетворяет лишь первое решение x1=1, x2=2 {4}

Подставив {4} в {1}, получим искомый закон распределения

X 1 2

P 0,6 0,4

#219

Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причем x1 < x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M(X)=2,6 и среднее квадратическое отклонение σ(X)=0,8.

Решение: Напишем закон распределения Х (вероятность х2 получим из формулы о сумме вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины):

X	x1	x2
p	0,2	0,8

Нам известно математическое ожидание, тогда:

Так как Т.е. , отсюда

Объединяя, получим систему уравнений (умножим каждое на 5):

Решив систему, получим:

Ответ:

X
p	0,2	0,8

220....

#221

Брошены n игральных костей. Найти дисперсию суммы числа очков, которые могут появиться на всех выпавших гранях.

Решение: Обозначим через X дискретную случайную величину—сумму числа очков, которые выпадут на всех гранях, через — число очков, выпавших на грани -й кости. Тогда

Очевидно, все величины X/ имеют одинаковое распределение, следовательно, одинаковые числовые характеристики и, в частности, одинаковые дисперсии, т. е.

. (*)

Так как рассматриваемые случайные величины независимы, то дисперсия их суммы равна сумме дисперсий слагаемых:

.

В силу (*) получим

. (**)

Таким образом, достаточно вычислить дисперсию случайной величины , т. е. дисперсию числа очков, которые могут выпасть на «первой» кости.

Напишем закон распределения

p

Найдем

Напишем закон распределения

p

Найдем и

(***)

Найдем искомую дисперсию, для чего подставим (***) в (**):

Ответ: .

#222

Вероятность наступления события в каждом испытании равна p (0<p<1). Испытания производятся до тех пор, пока событие не наступит. Найти:

А) математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа испытаний, которые надо произвести до появления события;

Б) дисперсию величины X.

Решение.

А) Составим закон распределения величины X – числа испытаний, которые надо произвести, пока событие не наступит:

X				…	k	…
p	p	qp	q2p	…	qk-1p	…

Здесь q=1-p – вероятность не появления рассматриваемого события.

Найдем М(X):

M(X)=1*p+2*qp+3* q2p+…+k* qk-1p+…=p(1+2q+3 q2+…+kqk-1+…)=p* = .

Итак, M(X)= .

Б) Будем искать дисперсию величины X по формуле

D(X)=M(X2)-(M(X))2.

Учитывая, что M(X)= , получим D(X)= M(X2)- .

Остается найти M(X2). Напишем закон распределения X2, используя распределение

X2				…	k2	…
p	p	qp	q2p	…	qk-1p	…

Найдем M(X2):

M(X2)= 12*p+22*qp+32* q2p+…+ k2* qk-1p…=p(12+22q+32 q2+…+ k2* qk-1…)=p* = .

Итак, M(X2)= .

Найдем искомую дисперсию:

D(X)= - = .

223....

#224

Доказать неравенство M[X-(xi+xk)/2]2≥D(X), где xi и xk – любые два возможных значения случайной величины X.

Решение. 1) Допустим, что (xi+xk)/2=M(X). Тогда

M[X-(xi+xk)/2]2=D(X). (*)

2) Допустим, что -(xi+xk)/2≠M(X). Докажем, что в этом случае

M[X-(xi+xk)/2]2>D(X)

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойства математического ожидания:

M[X-(xi+xk)/2]2=M(X2)-2(xi+xk)/2 * M(X)+ [(xi+xk)/2]2.

Вычитая и прибавляя [M(X)]2 в правой части равенства, получим

M[X-(xi+xk)/2]2=D(X)+ [M(X)-(xi+xk)/2]2>D(X). (**)

Объединяя (*) и (**), окончательно имеем

M[X-(xi+xk)/2]2≥D(X).

#225

Доказать, что если случайная величина X имеет наименьшее и наибольшее возможные значения, соответственно равные a и b, то дисперсия этой случайной величины не превышает квадрата полуразности между этими значениями:

.

РЕШЕНИЕ.

Воспользуемся неравенством . Докажем теперь, что

.

Очевидно, что из верности этого неравенства следует верность доказываемого. Преобразуем математическое ожидание: .

Второе слагаемое правой части равенства неотрицательно (т.к. b – наибольшее и a – наименьшее возможные значения), поэтому первое слагаемое не превышает всей суммы:

.

Так как математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, то имеем

и .

#226

Условие:

Доказать, что если – две независимые случайные величины, то: