 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Функция. Предел функции
|
|
3.1. Понятие функции. Основные определения.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть даны два числовых множества 
и 
. Если каждому 
по некоторому правилу поставлено некото- рое число 
, то говорят, что на множестве задана функция и записывают: 
, или 
. При этом множество называется областью определения функции, а множество - областью значений функции. 
называется независимой переменной, или аргументом; 
- зависимой переменной.
ПРИМЕРЫ:
1. 
- функция заданная на всей числовой прямой
. Множество значений этой функции - промежуток 
. (см. рис. 1)
2. 
- эта функция задана на отрезке 
; область её значений - 
. (см. рис. 2)
y y
0 x -1 0 1 x
Рис. 1 Рис. 2
3. 
Эта функция задана на множестве натуральных чисел 
Множество значений этой функции 
содержится в множестве натуральных чисел.
4. Функция Дирихле
Эта функция задана на всей числовой прямой 
, а область её значений состоит из двух точек 0 и 1.
5. Функция 
задана на всей числовой прямой , а множество её значений состоит из тёх точек: -1, 0, +1 (см. рис. 3)
6. 
- это целая часть действительного числа . Область определения этой функции - вся числовая прямая, область значений - целые числа. (см. рис. 4)
Y y
1 1
0 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
(Рис. 3) (Рис. 4)
3.2 Способы задания функций.
1 Аналитический: Это означает что функция задаётся с помощью какой – либо формулы. Примеры функций из предыдущего пункта заданы аналитически.
2 Табличный. Зависимость между и задаётся с помощью некоторой таблицы, например,
|
| …. | 
| ||
|
| 0,34 | 0,25 | ….. | 0,67 |
Такие таблицы чаще всего возникают при лабораторных исследования некоторых процессов, чаще всего в физике, химии и т.п. Они задают некоторую закономерность, которую иногда удаётся отобразить аналитически, т.е. удаётся установить закономерность.
3. Графический.. Чаще всего встречается в физике, меди -цине и т.п., когда зависимость между переменными опреде -ляяется с помощью так называемых самопишущих приборов, например, графики на осциллографе, кардиограмма, запись гелиографа, барографа и т.д.
3.3 Классификация функций.
- Основные элементарные функции:
1) 
- постоянная функция, которая при всех значениях принимает одно и то же значение.
2) Степенная функция 
, где 
- любое действительное число.
3) Показательные функции 
, в частности, 
.
4) Логарифмические функции 
, 
, в частности, 
.
5) Тригонометрические функции: 
.
6) Обратные тригонометрические функции: 
.
- Элементарные функции. - это функции, которые получаются из основных элементарных алгебраических операций, или с помощью суперпозиции этих функций. Например:
.
Отдельно среди элементарных функций выделяют многочлены, т.е. функции вида:
;
рациональные дроби: 
, где 
и 
- многочлены степени и 
, соответственно
и иррациональные функции, т.е. функции, которые содержат хотя бы один корень любого порядка, например, 
и т.п.
3.4. Предел функции
О п р е д е л е н и е 1 Число 
называется пределом функции 
в точке 
(или при 
), если
для любой сходящейся к точке 
последовательности 
значений аргумента (
), соответствующая последовательность 
значений функции в этих точках сходится к числу 
О п р е д е л е н и е 2 Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любого наперёд заданного 
можно найти 
, такое что для всех (
), удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Можно доказать, что оба эти определения предела последовательности равносильны.
Для обозначения предела функции используется следую- щий символ: 
.
Замечание. Функция может иметь в точке только один предел, так как последовательность 
может иметь только один предел.
Свойства предела функции.
Пусть 
. Тогда
- Функции
также имеют пределы в точке , равные соответственно, 
. - Если для всех точек из некоторой окрестности точки выполняется неравенство:
, то и для пределов выполняется такое же неравенство, т.е. 
. - Если для всех точек некоторой окрестности точки выполняется неравенство
и кроме того 
, то предел функции 
в точке также существует и равен
Эти свойства автоматически получаются из соответствую- щих свойств предела последовательности, на основании определения 1 предела функции.
3.5. Односторонние пределы.
О п р е е д е л е н и е 3 Число 
называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
.
Обозначают односторонние пределы следующим образом: 
Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Функция имеет в точке
предел тогда и только тогда, когда в этой
точке существуют оба односторонних предела
и они равны между собой и равны пределу
функции в этой точке.
Доказательство. Пусть 
Тогда, согласно определению предела функции, слева и справа, для любого существуют числа 
и 
, такие что для всех , удовлетворяющих неравен- ству 
, и для всех , удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство . Возьмём 
. Тогда для всех
, удовлетворяющих неравенствам 
, , или неравенству , выполняется нера- венство , а это, согласно определению 2, и означает, что . Обратное утверждение оче -видно: если существует предел функции в точке , то существуют и односторонние пределы в этой точке и они равны между собой.
3.6. Предел функции при 
.
О п р е д е л е н и е 4. Число называется пределом функции при , если для любой беско -нечно большой последовательности 
значений аргу -мента соответствующая последовательность зна- чений этой функции сходится к .
Равносильное определение.
О п р е д е л е н и е 5. Число называется пределом функции при , если для любого существует , такое что для всех 
, удовле -творяющих неравенству 
, выполняется неравенство
.
3.7. Два замечательных предела.
! Первый замечательный предел: 
С помощью 1-го замечательного предела можно вычислить многие другие пределы, например:
1) 
2) 
сделаем замену переменной
, получим
2 Второй замечательный предел.
, или 
легко получается тз определения числа 
(см. 2,4)
С его помощью также можно вычислять многие пределы., например:
1) 
сделаем замену 
при , тогда 
и получим
2) 
.
3) 
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 250 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
