Вводные понятия и определения. Элементы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Учебное пособие для студентов

заочной формы обучения

МАГНИТОГОРСК

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое пособие имеет целью помочь студенту – заоч- нику освоить очень важный раздел высшей математики, имею- щий широкие применения в приложениях математики, физике, механике и других областях деятельности. Под термином «ма- тематический анализ» подразумевается, прежде всего, диффе- ренциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем в XVII в. В узком смысле, как учебная дисци -плина, математический анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той части математического знания, которая сейчас является общей для всех современных мате -матических дисциплин. И понятна та совершенно исключи -тельная роль, которую играет математический анализ в мате- матическом образовании. Он, по существу, является фунда -ментом математических знаний.

ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ ЛОГИКИ.

Приступая к изучению математического анализа, студент уже имеет представление о понятии множеств, среди которых выделяют такие, как числовые поля. Напомним обозначения числовых множеств: - множество натуральных чисел; - множество целых чисел (кольцо целых чисел); - мно -жество рациональных чисел (поле рациональных чисел); - множество действительных чисел (основное числовое поле);

- множество комплексных чисел. Между всеми этими множествами существуют соответствующие соотношения:

Важную роль в математическом анализе играет понятие ме- ры близости элементов различных множеств (понятие нормы или, связанного с ней, понятия метрики). Для числовых мно -жеств этой мерой является абсолютная величина или модуль.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютной величиной (модулем) числа называется само число , если , и число , если .

Абсолютная величина числа обладает следующими свой- ствами, которые часто используются в различных областях математики

1). 2).

3). 4).

ЗАМЕЧАНИЕ. Для комплексного числа модуль равен , и для него все свойства сохраняются.

Действительные числа изображаются точками числовой прямой. На некоторой прямой (будем считать её располо -женной горизонтально) выберем положительное направление, начало отсчёта О и единицу масштаба .

О 1 М

Для изображения положительного числа возьмём на нашей прямой справа от точки О мочку М на расстоянии (в принятом масштабе), равном данному числу ; для изобра -жения отрицательного числа возьмём точку слева от на -чала отсчёта О на расстоянии, равном ; числу бу -дет отвечать точка O - начало отсчёта. Таким образом мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между все- ми точками прямой и множеством действительных чисел: каж -дое действительное число будет изображено одной опреде -лённой точкой прямой, а каждая точка прямой является изо -бражением одного определённого действительного числа. В дальнейшем мы будем обозначать одним и тем же символом и действительное число и точку числовой оси.

Множество всех действительных чисел , удовлетворяю-щих неравенству , где , называется отрезком (сегментом) и обозначается . Интервалом назы -вается множество всех действительных чисел , удовлетво –ряющих неравенству . Аналогично определяются понятия полуинтервалов и

Мы будем рассматривать также бесконечные интервалы, введя несобственные точки (числа) и , т.е.

Пусть . - окрестностью точки называется интер- вал . Проколотой - окрестностью точки называется .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество действительных чисел называется ограниченным сверху (снизу), если существует число такое, что для всякого числа выпол- няется неравенство .

Множество называется ограниченным, если для всякого выполняется неравенство (т.е. ). Число называется нижней гранью множества , а - верхней гранью.

Исходя из свойств действительных чисел, можно утверж -дать, что среди всех нижних граней найдётся наибольшая, а среди всех верхних граней - наименьшая.. Их обозначают или - точная нижняя грань (infiinum - наинизший); или - точная верхняя грань множества (supremum - наивысший).

В дальнейшем для сокращения записи и для построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями.

Квантор существования - - соответствует словам «сущес- твует», «найдётся». Квантор общности - - соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «для всех».

Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно. Высказывания условимся обозначать .

Импликация (если , то ) или ( влечёт ) означает высказывание, которое ложно в том или только в том случае, когда истинно, а - ложно.

Эквивалентность - ( тогда и только тогда, когда ) означает логическую равносильность высказываний и .

Конъюнкция означает: высказывание « и » считается истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания и истинны.

Дизъюнкция означает высказывание или считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных высказываний.

Отрицание - означает «не » - истинно, если ложно и, наоборот, ложно, если истинно.

Отрицание некоторого свойства, содержащего кванторы и , получается заменой каждого квантора на двойственный и заменой «свойства» на его отрицание. При этом, если , то .

Необходимое и достаточное условия: всякое высказывание , из которого следует , называется достаточным условием для . Высказывание в этом случае называется необхо -димым для высказывания .

Если высказывания и таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е. и , то говорят, что каждое из высказываний и является необходимым и доста -точным для другого и пишут .

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ, ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДО –