Введение в анализ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

По дисциплине «Математический анализ»

Для студентов 1 курса заочного отделения

Бакалавриат - Экономика

Часть 1

Великий Новгород

Методические указания и контрольные задания по дисциплине Математический анализ для студентов I курса заочного отделения. – Филиал СПб.ГЭУ в г.Великий Новгород: Великий Новгород, 2013, - 64с.

Составители: асс.И.В.Кондратьева, доц И.К.Лицкевич,

доц. В.С.Итенберг, асс. Л.Р.Пуховская,

доц. Е.З.Хотимская

Рецензенты: доц.Г.Л. Никитин, доц. Г.В. Савинов

Новое издание подготовил: доц.Ю.Ф.Евстигнеев

В пределах названной дисциплины студенты знакомятся с некоторыми основными понятиями математического анализа. Материал излагается в четырёх разделах:

1. Введение в математический анализ.

2. Начало дифференциального и интегрального исчисления.

3. Функции нескольких переменных.

4. Дифференциальные уравнения.

В настоящем пособии представлены основные положения указанных разделов и решения типовых задач.

В течение семестра студент должен выполнить контрольную работу, содержащую 8 задач и защитить ее. Материал семестра выносится на экзамен зимней сессии. Варианты контрольной работы и правила ее выполнения приведены в конце пособия.

Введение в анализ.

Связь между переменными величинами различной природы часто может быть описана функциональной зависимостью. Первоначальные представления о функции и методах изучения ее свойств учащиеся получают в курсе средней школы. Более подробное изучение поведения функции возможно на основе понятия предела и производной.

Число А является пределом функции у=f(x) при х, стремящемся к числу х₀, если при неограниченном приближении х к х₀, переменная у неограниченно приближается к А. Обозначается это так:

или при .

Выражение «х неограничен приближается к х₀» означает, что разность между переменным значением х и постоянным числом х₀ становится сколь угодно малой. Рассмотрим несколько примеров.

График функции

Рис.1

График функции

Рис.2

График функции

,

.

Рис.3

Рис.4 у =(-1) ⁿ (n-целое)

не существует.

Смысл обозначений следующий. Символ (рис.1) означает, что независимая переменная х принимает значения, все более приближающиеся к 2, причем х может принимать значения как большие 2, так и меньшие 2, иначе: «х приближается к 2 с двух сторон». Заметим, что значение х =2 входит в область определения параболы, а функция у=х² достигает значения 4 при х =2.

Символ () (Рис.2) означает, что переменная х возрастает по абсолютной величине и принимает только положительные (отрицательные) значения. Выражение означает, что при значение переменной у=2^х становится сколь угодно близким к 0. Однако, в отличие от предыдущего случая, функция у=2^х ни при каких значениях х не равна 0.

Символ () (Рис.3) означает, что переменная стремится к справа (слева) т.е. приближается к , принимая значения большие (меньшие) . При значение функции у=tgx неограниченно возрастают, а при значения функции у=tgx неограниченно возрастают по абсолютной величине, но остаются отрицательными по знаку. Заметим, что в самой точке функции у=tgx не определена, а в то же время пределы ее при , имеют смысл.

Функция целого аргумента у =(-1) ⁿ принимает два значения 1 при четных n и -1 при нечетных n. При эта функция предела не имеет (Рис.4).

До сих пор рассматривалась графическая иллюстрация понятия предела. Для вычисления пределов используются их свойства, понятия непрерывной функции, бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б) величин, правила раскрытия неопределенностей и некоторые другие приемы.