Неопределенный интеграл

Интегрированием функции называется задача, обратная дифференцированию. Она состоит в нахождении функции по ее производной. Исходным понятием в этой операции является понятие первообразной функции. Первообразной для данной функции f(x) на некотором промежутке называется функция F(x) такая, что во всех точках этого промежутка имеет место равенство

.

Важная особенность задачи нахождения первообразной для данной функции состоит в том, что эта задача не обладает свойством единственности решения. Например, для функции cos x, очевидно, первообразными будут функции sin x, 1+sin x, … и вообще любая функция вида sin x + C, где С – произвольное число, так как производная от постоянной равна нулю. Интегрирование функции состоит в нахождении всех ее первообразных.

Множество всех первообразных для данной функции f(x) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом от этой функции на данном промежутке и обозначается . При этом

· f(x) называется подынтегральной функцией,

· f(x)∙dx – подынтегральным выражением,

· а переменная х – переменной интегрирования.

Можно показать, что множество всех первообразных для данной функции f(x) на некотором промежутке может быть представлено в виде F(x) + C, где F(x) – какая-нибудь первообразная для f(x), а С – произвольная постоянная. Любая первообразная для f(x) может быть получена из этой формулы при соответствующем конкретном значении произвольной постоянной С.

Из приведенного выше утверждения о структуре множества всех первообразных для данной функции следует, что

,

Где F(x) – какая-либо первообразная для f(x).

Таким образом, для того, чтобы вычислить неопределенный интеграл от функции f(x), надо найти для неё какую-нибудь первообразную F(x) и прибавить к ней произвольную постоянную С.