Теорема Бернулли. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р

Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Частота появления события в этих n опытах является случайной величиной с математическим ожиданием и дисперсией (см. подразд. 7.3).

Теорема (Бернулли). При увеличении числа независимых опытов частота события сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. для любого e>0

.

Доказательство. Запишем неравенство Чебышева

,

где случайная величина.

.

Так как p, q, e – постоянные, то , при . Поэтому

.

Но вероятность не может превосходить единицу, значит, в этом соотношении неравенство следует заменить знаком равенства, что и приводит к утверждению теоремы.

Теорема Бернулли даёт обоснование статистическому определению вероятности (подразд. 1.5).