Двумерный нормальный закон распределения

Систему случайных величин можно интерпретировать как случайную точку на плоскости. Нормальный закон распределения для системы (Х,У) называется двумерным нормальным законом распределения и имеет плотность вероятности

где – математические ожидания соответственно случайных величин Х и У, – средние квадратические отклонения этих величин, r – коэффициент корреляции Х и У. Поверхность f(x,y) имеет вид холма, вершина которого находится над точкой (m_x, m_y) (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Двумерный нормальный закон распределения имеет, например, точка попадания снаряда из орудия, которое хорошо пристреляно по цели имеющей координаты ().

Если случайные величины независимы, то r =0 и функция плотности вероятности f(x,y) имеет вид

что соответствует свойству систем независимых случайных величин.

Используя формулу (5.2) и f(x,y), можно вычислить вероятность попадания ХУ в любую область плоскости. Особенно просто это сделать, если Х и У независимы, а область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат (рис. 6.2).

.

Можно ввести в рассмотрение нормальные законы распределения, имеющие большую размерность, например трёхмерные.