Решение. а) Возможные значения случайных величин Х и Y:

а) Возможные значения случайных величин Х и Y:

.

Соответствующие им вероятности вычисляем, пользуясь правилами сложения и умножения вероятностей.

Ряды распределения случайных величин Х и У имеют вид:

Х
P	0,3·0,3=0,09 не попал 2 раза	0,7·0,3+0,3·0,7=0,42 попал один раз из двух	0,7·0,7=0,49 попал оба раза

Контроль: ; М(Х) = .

Y
P	0,6·0,6=0,36 не попал 2 раза	0,4·0,6+0,6·0,4=0,48 попал один раз из двух	0,4·0,4=0,16 попал оба раза

Контроль: .

Таким образом, получены законы распределения Х и Y:

X					Y
P	0,09	0,42	0,49		P	0,36	0,48	0,16

б) Найдем все возможные значения случайных величин X + Y и и вероятности, с которыми они принимают их. Составим вспомогательную таблицу:

X	Y	X+Y	P	XY
			0,09
			0,09
			0,42
			0,42
			0,42
			0,49
			0,49
			0,49

Случайная величина Х + Y примет, например, значение 0, если Х примет значение 0 и Y – тоже значение 0. Вероятность такого случая в соответствии с теоремой умножения вероятностей равна произведению вероятностей (см. первую строку таблицы). Аналогично вычисляются вероятности других случаев.

Случайная величина Х + Y принимает 5 различных значений: 0; 1; 2; 3; 4. Значение 1 она принимает два раза – в случае, записанном во второй строке, или в случае, указанном в четвертой строке. Так как эти случаи – события несовместные, то по теореме сложения вероятность того, что Х+Y примет значение 1, равна

P(Х+Y =1) = 0,0432+0,1512=0,1944.

Точно так же подсчитываются вероятности для других повторяющихся значений Х+Y.

В итоге получим закон распределения X + Y (две верхние строки):

X+Y
P	0,0324	0,1944	0,3924	0,3024	0,0784
						.

Контроль: P = 0,0324 + 0,1944 + 0,3924 + 0,3024 + 0,0784 = 1.

Значения случайной величины находятся аналогично. Вероятности различных случаев вычисляются также с помощью теоремы умножения вероятностей. Случайная величина X × Y может принимать четыре различных значения: 0; 1; 2; 4. Значение 0 она принимает в пяти несовместных случаях. Поэтому по теореме сложения вероятностей

P(X·Y = 0 ) = 0,0324 + 0,0432 + 0,0144 + 0,1512 + 0,1764 = 0,4176.

Следовательно, закон распределения X × Y имеет вид:

P	0,4176	0,2016	0,3024	0,0784

Контроль: P = 0,4176 + 0,2016 + 0,3024 + 0,0784 = 1.

в) Математическое ожидание M(X + Y) можно вычислить двумя способами.

Во-первых, непосредственно, пользуясь полученным законом распределения X + Y:

M(X + Y) = .

Во-вторых, используя свойство: M(X + Y)=M(X)+M(Y) =1,4+0,8=2,2.

M(X) =1,4 и M(Y) =0,8 получены в пункте а). Результаты, естественно, совпали.

Аналогично: M(X Y)= =1,12.

Тот же результат получим, пользуясь свойством для независимых случайных величин

M(X Y) = M (X) = 1,4 .

Для независимых случайных величин Х и Y дисперсию суммы можно найти, пользуясь свойством: D(X+Y)=D(X)+D(Y), где D(X)=M(X -(M(X)) и D(Y) = M(Y - (M(Y)) . Получим законы распределения для и , используя полученные (см. пример 6.4., пункт а) законы для X и Y:

M(X ) = 0 2,38;

.

D(X) = 2,38 – (1,4)² = 0,42;

= = 0,648.

Аналогично

M(Y ) = 0,48+0,64 = 1,12;

D(Y) = 1,12 – (0,8) = 0,48; = = 0,693.

Теперь можно найти дисперсию суммы D(X+Y)=D(X)+D(Y) =0,42+0,48=0,9.

Такой же результат получим, пользуясь формулой:

D(X+Y) = M(X+Y)² – (M(X+Y))².

Закон для получен (см. пример 6.4., пункт б – две нижние строки).

M(X+Y) =0

D(X+Y) = 5,74 – (2,2) = 0,9,

= .

Для определения дисперсии D(X Y) найдем M(X Y) , тогда по формуле

D(X Y) = M(X Y) - (M(X Y)) .

.

M(X Y) = 0,2016 + 1,2096 + 1,2544 = 2,6656;

D(X Y) = 2,6656 – (1,12) = 2,6656 – 1,2544 = 1,4112;

= = 1,1879.

6.6. Числовые характеристики системы
двух случайных величин

Числовые характеристики системы случайных величин (X,Y) состоят из числовых характеристик каждой из величин, входящих в систему, и числовых характеристик, дающих представление о характере связи между величинами. Числовые характеристики каждой из величин по отдельности определяются как числовые характеристики обычных случайных величин Х и Y. Из числовых характеристик зависимости между величинами назовем лишь наиболее употребляемые.