Решение. Обозначим числа переменными х и у, тогда возможные пары (х;у) будут принадлежать квадрату со стороной 2 (рис

Обозначим числа переменными х и у, тогда возможные пары (х;у) будут принадлежать квадрату со стороной 2 (рис. 1.4). По условию и . Эти неравенства определяют некоторую область внутри квадрата, причем границы области заданы уравнениями: у=2-х, . Заштрихованная область удовлетворяет системе неравенств, и искомая вероятность равна: . S_кв =4,

;

Рис. 1.4.

1.9. Теорема умножения вероятностей.
Условная вероятность

При фиксированном комплексе условий каждое событие А имеет определенную вероятность. Может случиться так, что, помимо комплекса условий, известно, что произошло некоторое событие В. Как эта информация изменяет вероятность события А?

Определение. События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Определение. Вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и обозначается Р (А).

Например. В семье двое детей. Согласно генетическим законам вероятность рождения мальчика и девочки примерно одинакова и равна 1/2. Возможны следующие равновозможные комбинации: ММ, МД, ДМ, ДД. Первая буква означает пол старшего ребенка. Рассмотрим события: А – в семье есть мальчик, В – в семье есть девочка, С – старший ребенок девочка. Вычислим некоторые вероятности. Р(А) = 3/4 – это безусловная вероятность и находится она по классической формуле. Вероятность того, что один ребенок мальчик, при условии, что другой – девочка, равна: (А), так как возможны три комбинации МД, ДМ, ДД, а благоприятствует только первые две из них. Р_С (А) = 1/2, так как возможны две комбинации ДМ, ДД, а благоприятствует одна из них.

В общем случае задача нахождения условных вероятностей решается просто. Рассмотрим, например, случай геометрических вероятностей, для которых Р(А) равна площади области А, если
площадь всего прямоугольника равна единице (рис. 1.5).

Найдем Р (А) – вероятность попасть в область А при дополнительном условии, что уже известно, что мы попали в область В. Эта вероятность будет пропорциональна отношению площади АВ к площади области В:

.

Это означает, что вероятность события А вычисляется не по совокупности всех возможных исходов, а лишь по совокупности тех из них, в которых наступило событие В. Аналогично найдем Р_А (В) = .

Теорема 1.1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

Доказательство. Для доказательства указанного утверждения объединим полученные выше равенства и выразим из них Р(АВ):

Р(АВ) = Р(А) Р , (1.1)

если события А и В зависимые.

Если события А и В независимы, то Р и тогда вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В), (1.2)

Замечание. Необходимо различать вероятностную и причинную зависимость. Причинная зависимость предполагает наличие направленной цепи событий: причина ® следствие. Для вероятностной связи причина и следствие равноправны. События рассматриваются как результат некоторого опыта, не различая события, происходящего раньше и происходящего позже, а учитывая лишь то, как появление одного меняет вероятность появления другого.

Теорема умножения может быть сформулирована для любого числа событий.

Теорема 1.2. Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что предыдущие имели место:

Р( = . (1.3)

Если события независимы, то

. (1.4)

Итак, прежде чем вычислять вероятность произведения совместных событий, следует выяснить зависимы они или нет.