Непрерывность сложной функции

Теорема: Пусть функция определена на множестве Д, а на Е, причем с Е, то есть мы имеем следующую функцию .

Теорема: Пусть непрерывна в точке из Д, а функция непрерывна в точке , где , тогда сложная функция непрерывная в точке (без доказательства).

Замечание 1: Пусть предел в силу непрерывна сложная функция , мы имеем , т.е. при вычисление предела непрерывной функции можно поменять местами функцию и предел.

Замечание 2: Из этой теоремы получаем правило замены переменных из вычисления предела:

, тогда

Теорема: Пусть функция и непрерывны на множестве Д , , тогда непрерывны функции С ; ; ; - непрерывна в точке .

Доказательство: Если - предельная точка множества Д, то справедливость этой теоремы следует из теорем (произведение на число, произведение, суммы, частности и определены непрерывности функции в точке).