Основные теоремы дифференциального исчисления. Обозначения : C[a,b] - класс непрерывных, дифференцируемых на [a,b] функций

Обозначения: C [ a,b ] - класс непрерывных, дифференцируемых на [ a,b ] функций. На графиках таких функций существуют особо важные точки, относительно которых доказаны общие теоремы.

Теорема Ферма. Пусть функция f (x) C [ a,b ] и принимает наибольшее (М) или наименьшее (m) значение во внутренней точке с (a,b), тогда f `(c) = 0.

Док – во. Пусть f (c) = M, тогда левосторонний и правосторонний пределы функции при х с имеют разные знаки: = f` (c -0) 0, т.к. (+)

= f` (c -0) 0, т.к. (-),

но условие непрерывности функции требует совпадения этих пределов, что возможно только при f `(c) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма - касательные в точках M и m параллельны оси О х, т.к. из условия f `(c) = tg = 0 = 0.

Теорема Ролля. Пусть функция f (x) C [ a,b ] и f ( a ) = f ( b ), тогда существует такая точка с (a,b), где f `(c) = 0.

Док– во. Согласно свойства 1⁰ непрерывных на [ a,b ] функций, f (x) обязательно достигает своих M и m (m f (x) M). В силу условия f (a) = f (b) эти точки обязательно лежат внутри интервала [a ,b ] и, следователь-но, в них по теореме Ферма f `(c) = 0. Если m = M, то f (x) = const и f `(x) = 0.

Теорема Лагранжа. Пусть функция f (x) C [ a,b ], тогда существует точка с (a,b), для которой верно равенство

f ` (c) = (21)

Док – во. Введем на [ a,b ] вспомогательную функцию F (x) = f (x) + h x, для которой выполняются условия теоремы Ролля: F (a) = F (b) или f (a) + h a = f (b) + h b h = _. Тогда F (x) = f (x) x. По теореме Ролля существует такая точка с (a,b), для которой выполняется равенство

F` (c) = f ` (c) = 0 f ` (c) = .

Отношение полного приращения функции f (b) – f (a) к полному прираще-нию аргумента b – a есть средняя скорость. Ей соответствует прямая соединяющая концы графика. Из теоремы Лагранжа следует: а) средняя скорость за любой интервал времени обязательно совпадает с мгновенной скоростью в некоторой промежуточной точке; б) на графике функции всегда существует точка, касательная к которой параллельна прямой соединяющей конечные точки графика.

Формула конечных разностей:

f (b) – f (a) = f `(c) (b – a) (22)

заменяет приращение функции на приращение аргумента, умноженное на некоторую среднюю скорость.

Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) C [ a,b ] и g (b) g (a), тогда существует точка с (a,b), для которой верно равенство

(23)

т.е. отношение полных приращений двух функций на одном интервале равно отношению их производных в некоторой промежуточной точке.

Док – во. Введем Q (x) = f (x) + h g (x). Подберем h так, чтобы Q (a) = Q (b), т.е. h = . Тогда Q (x) = f (x) g (x)

По теореме Ролля существует такая точка с (a,b) для которой выполняется равенство Q` (c) = 0 f ` (c) g` (c) = 0 .

В случае g (x) = x теорема Коши переходит в теорему Лагранжа.

Теорема Лопиталя. Пусть для функций f (x), g (x) в окрестностях точки а выполняются условия Коши, причем, f (a) = g (a) = 0 и существует предел , тогда = = (24)

Док – во. По теореме Коши существует такая точка c (a,x), что

. В этом равенстве перейдем к пределу x a, тогда

= = =

т.к. процесс x a для внутренней точки с приводит к процессу c a.

Замечание 1. Если f` (a) = g` (a) = 0 и f ` (x), g` (x) удовлетворяют в окрестности точки а условиям теоремы Коши, то

= = = =

Замечание 2. Если f (x) = , g (x) = и в окрестности точки а

существуют f ` (x), g` (x), причем, g `(x) 0, то

= =

Таким образом, предел отношения двух функций, образующих неопределенность типа , в некоторой точке, можно заменить на предел отношении их производных.

Пр. = = = = =