Задача №4. 1. Вычислить неопределенные интегралы

1. Вычислить неопределенные интегралы.

а) б) , с)

Решение:

а)

б)

с)

2. Интегрированием по частям найти интеграл:

Решение:

Вопросы к экзамену по дисциплине «Математический анализ»

1. Понятие функции одной действительной переменной. Способы задания функции. Сложная функция.

2. Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции.

3. Числовая последовательность как функция натурального аргумента. Предел последовательности.

4. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

5. Свойства пределов. Первый и второй замечательные пределы.

6. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых. Теорема о представлении функции в виде суммы постоянного числа бесконечно малых.

7. Сравнение бесконечно малых. Свойства эквивалентных бесконечно малых и их использование для вычисления пределов.

8. Понятие о бесконечно большой функции. Связь бесконечно малой и бесконечно большой функций.

9. Непрерывность функции в точке и на множестве.

10. Свойства непрерывных в точке функций: непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции.

11. Точки разрыва функции и их классификация.

12. Производная функции. Геометрический смысл производной.

13. Таблица производных. Основные правила нахождения производных. Производная сложной функции.

14. Дифференциал функции. Его геометрический смысл.

15. Правило Лопиталя.

16. Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Необходимое условие локального экстремума. Достаточные условия локального экстремума. Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

17. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Схема исследования графика функции на перегиб.

18. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

19. Функции нескольких переменных. Основные понятия. Предел и непрерывность ф.н.п.

20. Частные производные I-го порядка. Геометрический смысл частных производных I-го порядка.

21. Частные производные высших порядков. Т. Шварца.

22. Дифференцируемость и полный дифференциал ф.н.п. Его применение для приближённых вычислений.

23. Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Теорема существования неопределенного интеграла.

24. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов.

25. Основные методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой (заменой переменной), интегрирование по частям.

26. Определенный интеграл и его геометрический смысл. Теорема существования определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

27. Приложения определённого интеграла.

28. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные определения. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. Общее и частное решения.

29. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка

30. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

31. Числовой ряд. Необходимое и достаточные условия сходимости.

32. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

33. Степенные ряды. Область сходимости.

34. Разложение элементарных функций в степенной ряд. Ряды Тейлора-Маклорена.

Литература: