Бесконечно малые (БМ) функции

Опр. 4.4.10. Функция f (x) называется бесконечно малой при х ® a, если .

БМ функции принято обозначать греческими буквами:a(х), b(х) и т.д, так и будем делать. Перевод определения на язык e-d:

a(х) - БМ при х ® a Û {"e>0 $d: 0<| x - a |<dÞ|a(х)|<e}.

БМ обладают всеми свойствами функций, имеющих предел. В этом разделе мы изучим специфические свойства БМ.

Теор. 4.4.7. Произведение БМ на ограниченную функцию - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х) - БМ при х ® a, f (x) ограничена в окрестности точки a. Требуется доказать, что a(х) f (x) - БМ при х ® a. $С>0: | f (x) |<C; "e>0 $d: 0<| x-a |<dÞ|a(х)|<e/CÞ

| a(х) f (x)|<e, т.е. a(х) f (x) действительно БМ при х ® a.

Теор. 4.4.8. Алгебраическая сумма конечного числа БМ функций - БМ функция.

Док-во. Пусть a(х), b(х) - БМ при х ® a. Требуется доказать, что a(х) ±b(х) - БМ при х ® a. "e>0 $d₁: 0<| x-a |<d₁Þ|a(х)|<e/2; $d₂: 0<| x-a |<d₂Þ|b(х)|<e/2. Если взять 0<| x-a |<min{d₂,d₁}=d, то | a(х) ±b(х)|£ | a(х) |+ | b(х)|< e/2+e/2=e, т.е. a(х) ±b(х) действительно БМ при х ® a.

Следствие: Линейная комбинация БМ функций - БМ функция.

Докажем теорему, которой придётся часто пользоваться и которая, в основном, объясняет причину выделения БМ функций в отдельный класс:

Теор. 4.4.9 (о связи функции с её пределом). Для того, чтобы функция f (x) имела предел, равный b, при х ® a, необходимо и достаточно, чтобы f (x) представлялась в виде f (x)= b +a(х), где a(х) - БМ при при х ® a.

Док-во. Необходимость. Пусть $ . Обозначим a(х)= f (x) - b, докажем, что a(х) - БМ при при х ® a. По определению предела "e>0 $d: 0<| x - a |<dÞ| f (x) - b |=|a(х)|<e, т.е. a(х) удовлетворяет определению БМ.

Достаточность. Для доказательства достаточно прочитать доказательство необходимости в противоположном порядке.