Определение предела функции в точке

Опр.4.4.1. Пусть а - предельная точка области определения Х функции f (x). Число b называется пределом функции при х, стремящемся к а, если для любого числа e>0 существует такое число d (вообще говоря, положительное и зависящее от e), что если х Î Х принадлежит также проколотой d-окрестности точки а, то значение функции f (x) принадлежит e-окрестности числа b.

Обозначения: ; f (x)® b при x ® а; .

Краткая форма записи: .

Неравенство расписывается в виде двустороннего неравенства как или . Аналогично неравенство можно расписать как . Поэтому смысл определения предела таков: , если для любой наперед заданной степени близости значений f (x) к числу b мы в состоянии найти такую близость аргумента х к числу а, которая обеспечивает эту близость f (x) к b. Заметим, что в определении никак не участвует значение f (а) функции f (x) в точке а, в частности, f (а) не обязательно должно быть равным b; более того, f (x) может быть вообще не определена в точке а.

Рассмотрим два простых примера. Докажем, что 1. ; 2. (дальше мы увидим, что предел любой элементарной функции при стремлении х к любой точке области определения этой функции равен значению функции в предельной точке).

Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x -2 |<dÞ| x ²-4 |<e, т.е. | (x -2)(x +2) |<e. Договоримся сразу брать d<1, тогда из | x -2 |<dÞ2-d< x <2+dÞ x <3Þ x +2<5. Неравенство

| (x -2)(x +2) |<e будет обеспечено, если . Таким образом, если в качестве d взять , то при | x -2 |<d(e) получим | x +2|<5Þ| (x -2)(x +2) |=| x -2 || x +2 |< *5=e, что и требовалось.

Возьмём "e>0. Требуется найти такое d>0, что 0<| x -p/6 |<dÞ| sin x -1/2 |<e~

| sin x - sin(p/6)|<e ~ <e.Так как , |sin a|<|a| при a¹0, то требуемое неравенство будет выполнено, если взять d(e)=e (Тогда из <| x -p/6 |<d=eÞ ; , что и требовалось.

Более сложный пример-функция Дирихле

В любой окрестности любого вещественного числа а имеются и рациональные, и иррациональные точки, обеспечить одновременное выполнение неравенств | b -1 |<e и | b -0 |<e при e<1/2 невозможно ни при каком значении b, следовательно, функция Дирихле не имеет предела ни при каком стремлении аргумента.

Рассмотрим ещё одно определение предела, эквивалентное предыдущему.

Опр.4.4.2. Пусть { x_n | x_n Î X, x_n ¹ a } - последовательность точек области определения функции f (x), сходящаяся к точке а. Если для любой такой последовательности { x_n } последовательность значений функции { f (x_n)} сходится к числу b, то b называется пределом f (x) при x ® а. (В МГТУ опр.3.4.1 принято называть определением Коши, опр.3.4.2 - определением Гейне).

Докажем эквивалентность определений 4.4.1 и 4.4.2.

Утв.1. Если в смысле опр. 4.4.1, то число b - предел f (x) при x ® а и в смысле опр. 4.4.2.

Док-во. Пусть { x_n } сходится к а, требуется доказать, что { f (x_n)} сходится к b, т.е. что для "e>0 $ N: n > N Þ | f (x_n)- b |<e (в предположении, что выполняются условия опр. 4.4.1). Возьмём "e>0. $d: 0<| x - a |<d Þ | f (x)- b |<e. Так как x_n ® а при n ®µ, то $ N: n > N Þ | x_n - a |<dÞ

| f (x_n)- b |<e. Нужное N найдено.

Утв.2. Если в смысле опр. 4.4.2, то число b - предел f (x) при x ® а и в смысле опр. 4.4.1.

Док-во от противного. Мы предположим, что требования опр. 4.4.1 не выполняются, и построим последовательность { x_n }, сходящуюся к а, для которой { f (x_n)} не сходится к b. Если требования опр. 4.4.1 не выполняются, то $e>0, для которого в любой проколотой d-окрестности точки а найдётся точка x, в которой | f (x)- b |>e. Возьмём d₁=1. $ x ₁¹ а: 0<| x ₁- a |<d₁, но | f (x ₁)- b |>e. Возьмём d ₂ <min{1/2, | x ₁- a |}. $ x₂: 0<| x ₂- a |<d ₂, но | f (x ₂)- b |>e. Возьмём d ₃ <min{1/3, | x ₂- a |}. $ x ₃: 0<| x ₃- a |<d ₃, но | f (x ₃)- b |>e. Вообще на n -ом шаге возьмём d _n <min{1/ n,

| x_{n -1}- a |}. $ x_n: 0<| x_n - a |<d _n, но | f (x_n)- b |>e, и т.д. Мы получили, что x_n ® а при n ®µ (так как

| x_n - a |<1/ n), но | f (x_n)- b |>e, т.е. { f (x_n)} не сходится к b. Противоречие получено.

Рассмотрим ещё два примера.

(график этой функции приведен слева; х ¹0). Докажем, что эта функция не имеет предела при х ®0. В каждой точке последовательности f (x_n)=0, в каждой точке последовательности f (x_n)=1, разные последовательности дают разные пределыÞ не существует.

5. Функция Римана

Как следует из графика, приведённого на стр.17, в любой e-окрестности точки при e< содержится не более чем конечное число значений функции, т.е. при рациональном значении аргумента х = а не существует. Если х = а иррационально, то вне любой e-полосы | x |<e лежит не более чем конечное число точек графика, т.е. .