Метод множителей Лагранжа

Рассмотрим частный случай общей задачи нелинейного программирования (1), (2), предполагая, что система ограничений (2) содержит только уравнения, отсутствуют условия неотрицательности переменных и функции f и g_i – непрерывные вместе со своими частными производными

max (min) f (x 1, x 2,..., xn); (1)

gi (x 1, x 2,..., xn) = bi (i = 1.. m). (2)

В курсе математического анализа задачу (1), (2) называют задачей на условный экстремум или классической задачей оптимизации.

Чтобы найти решение такой задачи, вводят набор переменных l₁, l₂,..., l _m, называемых множителями Лагранжа и составляют функцию Лагранжа:

(3)

находят частные производные (j = 1.. n) и (i = 1.. m), рассматривают систему n + m уравнений

(4)

с n + m неизвестными x ₁, x ₂,..., x_n, l₁, l₂,..., l _m.

Всякое решение системы (4) определяет точку x = (x ₁⁰, x ₂⁰,..., x_n ⁰), в которой может иметь место экстремум функции f (x ₁, x ₂,..., x_n). Следовательно, решив систему (4), получают все точки, в которых функция (1) может иметь экстремальные значения. Дальнейшее исследование найденных точек проводят так же, как и в случае безусловного экстремума.

Пример 6.1

Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя предприятиями одного концерна по различным технологиям. При производстве x ₁ изделий первым предприятием его затраты составят руб., а при изготовлении x ₂ изделий вторым предприятием они составляют руб.

Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальны.

Решение.

Задача запишется в виде:

Для нахождения минимального значения функции (5) при условии (6), то есть без учета требования неотрицательности переменных составляется функция Лагранжа

вычисляются ее частные производные по x ₁, x ₂, l и приравниваются нулю:

Отсюда 4 + 2 x ₁ = 8 + 2 x ₂ или x ₁ + x ₂ = 2. Решая это уравнение совместно с x ₁ + x ₂ = 180, находим x ₁⁰ = 91; x ₂⁰ = 89, то есть получили координаты точки, подозрительной на экстремум. Используя вторые частные производные можно показать, что в этой точке функция f имеет условный минимум.

n Такой же результат можно получить, если исследование на условный экстремум функции f свести к исследованию на безусловный экстремум функции f1, полученной из f в результате ее преобразований.

Т.о., если из уравнения связи x ₁ + x ₂ = 180 найти x ₂ = 180– x ₁ и подставить это выражение в целевой функции, то получится функция одной переменной x ₁:

Далее из уравнения можно найти стационарную точку этой функции f ₁: или 4 x ₁–364 = 0, откуда x ₁⁰ = 91; x ₂⁰ = 180–91 = 89. Используя вторые частные производные, устанавливаем, что в данной точке функция f имеет минимальное значение.