Теория игр

Цель: применить знания о «теории игр» на практике

Задание: Решить задачу – определения оптимальной стратегии выпуска видов продукции приведя ее к задаче линейного программирования:

1. Найти решение игры. Данные указаны в таблице:

2. Решить задачу определения решения игры с использованием теоремы об активных стратегиях: найти решение игры, заданной матрицей:

Ход работы:

1. Проверяем, имеет ли платежная матрица седловую точку. Если да, то выписываем решение игры в чистых стратегиях.
Считаем, что игрок I выбирает свою стратегию так, чтобы получить максимальный свой выигрыш, а игрок II выбирает свою стратегию так, чтобы минимизировать выигрыш игрока I.

Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a_i) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A₂.
Верхняя цена игры b = min(b_j) = 3.
Седловая точка (2, 1) указывает решение на пару альтернатив (A2,B1). Цена игры равна 3.
2. Проверяем платежную матрицу на доминирующие строки и доминирующие столбцы.
Иногда на основании простого рассмотрения матрицы игры можно сказать, что некоторые чистые стратегии могут войти в оптимальную смешанную стратегию лишь с нулевой вероятностью.
Говорят, что i-я стратегия 1-го игрока доминирует его k-ю стратегию, если a_ij >= a_kj для всех j Э N и хотя бы для одного j a_ij > a_kj. В этом случае говорят также, что i-я стратегия (или строка) – доминирующая, k-я – доминируемая.
Говорят, что j-я стратегия 2-го игрока доминирует его l-ю стратегию, если для всех j Э M a_ij <= a_il и хотя бы для одного i a_ij< a_il. В этом случае j-ю стратегию (столбец) называют доминирующей, l-ю – доминируемой.
Стратегия A2 доминирует над стратегией A1 (все элементы строки 2 больше или равны значениям 1-ой строки), следовательно исключаем 1-ую строку матрицы. Вероятность p1 = 0.

С позиции проигрышей игрока В стратегия B2 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 2 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 2-й столбец матрицы. Вероятность q2 = 0.